45. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

1. feladat

szerkesztés

Legyen   hegyesszögű háromszög, amiben   . A   átmérőjű kör az  , ill.   oldalakat az  , ill.   pontokban metszi. Jelölje   a   oldal középpontját. A  ∠ és  ∠ szögek szögfelezői az   pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a   és   háromszögek körülírt köreinek van olyan közös pontja, ami a   oldalon fekszik.

2. feladat

szerkesztés

Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós   polinomot, amely kielégíti a

 

egyenlőséget, valahányszor   olyan valós számok, amelyekre teljesül  .

3. feladadt

szerkesztés

Nevezzük horognak az alábbi ábrán látható, hat egységnégyzetből álló alakzatot valamint minden olyan alakzatot, amely ebből forgatásokkal és tükrözésekkel kapható.

Határozzuk meg az összes olyan  -es téglalapot, ami lefedhető horgokkal úgy, hogy

  • a lefedés hézagmentes és átfedések nélküli,
  • semelyik horognak nem nyúlik semelyik része sem a téglalapon kívülre.

Második nap

szerkesztés

4. feladat

szerkesztés

Legyen  ≥3 egész szám. Legyenek   pozitív valós számok, amelyekre teljesül

 

Mutassuk meg, hogy   egy háromszög oldalhosszai minden olyan   esetén, amikre 1≤   teljesül.

5. feladat

szerkesztés

Egy   konvex négyszögben a   átló nem szögfelezője sem az  , sem a   szögnek. A   pont az   négyszög belsejében fekszik, és teljesül rá

  és  .

Bizonyítsuk be, hogy   akkor és csak akkor húrnégyszög, ha  .

6. feladat

szerkesztés

Egy pozitív egész számot alternálónak nevezünk, ha a tízes számrendszerbeli felírásában a szomszédos számjegyek mindig különböző paritásúak.

Határozzuk meg az összes olyan   pozitív egész számot, amire igaz az, hogy  -nek van olyan többszöröse, ami alternáló szám.