45. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Feladatok

Első nap

1. feladat

Legyen $ABC$ hegyesszögű háromszög, amiben $AB$ ≠ $AC$ . A $BC$ átmérőjű kör az $AB$ , ill. $AC$ oldalakat az $M$ , ill. $N$ pontokban metszi. Jelölje $O$ a $BC$ oldal középpontját. A $BAC$ ∠ és $MON$ ∠ szögek szögfelezői az $R$ pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a $BMR$ és $CNR$ háromszögek körülírt köreinek van olyan közös pontja, ami a $BC$ oldalon fekszik.

2. feladat

Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós $P(x)$ polinomot, amely kielégíti a

P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)

egyenlőséget, valahányszor $a,b,c$ olyan valós számok, amelyekre teljesül $ab+bc+ca=0$ .

3. feladadt

Nevezzük horognak az alábbi ábrán látható, hat egységnégyzetből álló alakzatot valamint minden olyan alakzatot, amely ebből forgatásokkal és tükrözésekkel kapható.

Határozzuk meg az összes olyan $mxn$ -es téglalapot, ami lefedhető horgokkal úgy, hogy

a lefedés hézagmentes és átfedések nélküli,
semelyik horognak nem nyúlik semelyik része sem a téglalapon kívülre.

Második nap

4. feladat

Legyen $n$ ≥3 egész szám. Legyenek $t_{1},t_{2},...,t_{n}$ pozitív valós számok, amelyekre teljesül

n^{2}+1>(t_{1}+t_{2}+...+t_{n})\left({\frac {1}{t_{1}}}+{\frac {1}{t_{2}}}+...+{\frac {1}{t_{n}}}\right)

Mutassuk meg, hogy $t_{i},t_{j},t_{k}$ egy háromszög oldalhosszai minden olyan $i,j,k$ esetén, amikre 1≤ $i<j<k$ ≤ $n$ teljesül.

5. feladat

Egy $ABCD$ konvex négyszögben a $BD$ átló nem szögfelezője sem az $ABC$ , sem a $CDA$ szögnek. A $P$ pont az $ABCD$ négyszög belsejében fekszik, és teljesül rá