52. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Feladatok szerkesztés

1. nap szerkesztés

1. feladat szerkesztés

Az   halmaz négy, páronként különböző pozitív egész számból áll. Az   összeget jelöljük  -val, és jelölje   az olyan   párok ( ) számát, amelyekre   osztója  -nak. Határozzuk meg az összes olyan A halmazt, amelyre   a lehetséges maximális értékét veszi fel.

2. feladat szerkesztés

Legyen S a sík pontjainak egy véges, legalább két elemű halmaza. Feltesszük, hogy az   halmaz semelyik három pontja sincs egy egyenesen. Egy szélmalomnak nevezett folyamat során kiindulunk egy   egyenesből, amely az   halmaznak pontosan egy   pontját tartalmazza. Az egyenes a   forgástengely körül az óramutató járásával megegyező irányban forog addig, amíg először nem találkozik egy másik,   halmazba tartozó ponttal. Ekkor ez a   pont lesz az új forgástengely, és az egyenes a   pont körül forog tovább az óramutató járásával megegyező irányban egészen addig, míg újra nem találkozik egy   halmazba tartozó ponttal. Ez a folyamat vég nélkül folytatódik. Bizonyítsuk be, hogy megválaszthatjuk a   pontot és a P-n át menő   egyenest úgy, hogy az   halmaz minden pontja végtelen sokszor legyen a szélmalom forgástengelye.

3. feladat szerkesztés

Legyen f : R → R egy olyan függvény, amelyre teljesül az

 

feltétel minden   valós számra. Bizonyítsuk be, hogy minden   esetén teljesül  .

2. nap szerkesztés

4. feladat szerkesztés

Legyen   egy egész szám. Van egy kétkarú mérlegünk és   súlyunk, amelyek súlya  . Ezt az   súlyt egymás után a mérlegre akarjuk helyezni oly módon, hogy jobb oldali serpenyő soha ne legyen nehezebb a baloldali serpenyőnél. Mindegyik lépésben kiválasztjuk az eddig a mérlegre nem tett súlyok valamelyikét, és a mérlegnek vagy a baloldali vagy a jobboldali serpenyőjébe helyezzük, egészen addig, amíg az összes súly fel nem kerül a mérlegre. Határozzuk meg, hogy hányféleképpen lehet ezt megtenni.

5. feladat szerkesztés

Jelölje Z az egész számok halmazát, N pedig a pozitív egész számok halmazát. Legyen f egy Z-t N-be képező függvény. Tegyük fel, hogy bármilyen két   és   egész szám esetén az   különbség osztható  -nel. Bizonyítsuk be, hogyminden   egész számra teljesül az, hogy ha  ,akkor   osztható  -mel.

6. feladat szerkesztés

Legyen ABC egy hegyesszögű háromszög, Γ a háromszög körülírt köre és   Γ egy érintő egyenese. Jelölje   azokat az egyeneseket, amelyeket úgy kapunk, hogy  -et a   ill.   egyenesekre tükrözzük. Bizonyítsuk be, hogy az   egyenesek által meghatározott háromszög körülírt köre érinti a Γ kört.