Komplex analízis/Komplex differenciálhatóság

R-differenciálhatóságSzerkesztés

Egy f : C   C függvény abban az értelemen R-differenciálható, ahogy egy RN   RM függvény differenciálhatóságát definiáltuk. Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:

  akkor  

A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:

  akkor  

Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z   w  z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz

 

ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:

 

Feladat. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!

Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)

 


Feladat. Számítsuk ki az   R-differenciálját!


Ha z = x + i y, akkor  , így:

 

És ezzel már ki is mondhatjuk a Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt:

Annak a szükséges feltétele, hogy az f:R2   R2 R-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy:
  és  

C-differenciálhatóságSzerkesztés

A fenti példa motiválja a C-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen f(z) totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a z0 pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a wC szám mátrixreprezentációja. Ekkor

 

Itt w (z-z0) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor:

 

Ha h(z)=(z-z0)/|z-z0|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt:

 

Innen a következő gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő


Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha

 

Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az R'- és a C-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felfelé nézzük, akkor a h(z) korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra.

Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan z(n) konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a h(z(n)) ekkor az egységkörön van, így a szorzat biztosan "elerüli a nullát" (az abszolút értéke nem a 0-hoz tart). Következésképpen:

Tétel. A definícióbeli f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a deriváltja komplex szám (mátrix reprezentációja). Továbbá f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a parciális deriváltjai teljesítik a Cauchy-Riemann-egyenleteket.

Feladat. Komplex deriváljuk az f(z) = zn függvényt!

Feladat. Komplex deriválható-e:  , vagy a  ?

Feladat. Igazoljuk, hogy ha f korlátos komplex függvény a DC halmazon és limwg = 0, akkor limw fg = 0. (w ∈ int D).