Komplex analízis/Komplex függvény integrálja

Görbék a komplex síkon

Ha [a,b] korlátos és zárt valós intervallum, és G: [a,b] $\to$ C folytonos függvény, akkor G-t görbének nevezzük. A G görbe kezdőpontja a G(a), végpontja a G(b) komplex szám.

Példa. Origó középpontú körök és körívek.

Az alábbi függvény, intervallumon értelmezett és a komplex egységkörbe, U-ba képez folytonos és paraméterezi a komplex egységkör egy ívét:

$G:[a,b]\to \mathbf {U} ;\;t\mapsto e^{ti}$

ha [a,b]=[0,2π], akkor G a teljes egységkört paraméterezi. A folytonosság abból látható, hogy

$e^{ti}=\cos t+i\sin t\,$

mely intervallumon értelmezett és komponensenként folytonos függvény.

Origón áthaladó egyenes:

$G:[a,b]\to \mathbf {C} ;\;t\mapsto te^{i\varphi }$

ahol φ az egyenes irányszöge.

Határozatlan integrál

Legyen az f komplex függvény a nyílt U halmazon értelmezve. Azt mondjuk, hogy f-nek primitív függvénye az F:U $\to$ C függvény, ha F komplex deriválható (azaz reguláris) és F '= f.

A határozatlan inegrálra vonatkozóan a legfontosabb tétel a Newton-Leibniz-tétel:

Newton--Leibniz-tétel Legyen a D tartományon (nyílt és összefüggő halmaz) értelmezett f függvény olyan, hogy

1. létezik f-nek primitív függvénye (azaz ∃ F ∈ Diff_C(D) : F ' = f)
2. f integrálható (azaz ∀ G ∈ C([a,b],D) : ∃ ∫_G f )

Ekkor minden G ∈ C₁([a,b],D)-re és f minden F primitív függvényére:

$\int \limits _{a,(G)}^{b}f(z)\,\mathrm {d} z=F(b)-F(a)$

Megjegyzés. Míg az egyváltozós analízisben folytonos függvénynek volt primitívfüggvénye (espedig az integrálfüggvény ilyen volt), addig az C-ben koránt sincs így. Vegyük az

$f:\mathbf {C} \setminus \{0\}\to \mathbf {C} ;\;z\mapsto {\frac {1}{z}}$

Reciprok lekéopezést! Ennekaz teljes Dom(f) = C\{0} tartományon nincs primitív függvénye, bár holott reguláris. Ám minden olyan D nyílt összefüggő halmazon van primitívfüggvénye, melyre igaz, hogy része egy C \ e halmaznak, ahol e egy origóból kiinduló félegynes. Ekkor F a Log hozzárendelés egy alkalmas olyan leszűkítése, mely diffeomorfizmus D-n.

Feladat. Legyen

$G:\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\to \mathbf {U} ;\;t\to e^{ti}$

Számoljuk ki az alábbi integrálokat!

a) $\int \limits _{G}{\frac {1}{z}}\mathrm {d} z$

b) $\int \limits _{G}{\frac {1}{z^{2}}}\mathrm {d} z$

Feladat. Igazoljuk, hogy az

$F:\mathbf {C} \setminus \{0\}\to \mathbf {C} ;\;z\mapsto \mathrm {Log} (z)\,$

függvény nem primitív függvénye az

$f:\mathbf {C} \setminus \{0\}\to \mathbf {C} ;\;z\mapsto {\frac {1}{z}}$

függvénynek a C\{0} tartományon.

(Útmutatás: F mégcsak nem is folytonos a (0,+∞) ⊆ R halmazon, nemhogy differenciálható lenne.)

Cirkulációmentesség

Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:

$\oint f=0\,$

További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkuálciómentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.

Legyen f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y). Ekkor f felfogható R² $\supset \!\to$ R² függvényként, melynek vonalintegrálja a

$G:z(t)\equiv \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))\,$

vonal mentén:

$\int \limits _{G}f(z)\mathrm {d} z=\int \limits _{G}u\mathrm {d} x-v\mathrm {d} y+i\int \limits _{G}u\mathrm {d} y+v\mathrm {d} x$

amiben az

$\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}}$ és $\mathbf {w} ={\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}}$

vektorterek integráljai szerepelnek.

Vagy kétdimenziós felületi integrálként:

$\mathbf {v} '={\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}}$ és $\mathbf {w} '={\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}}$

Ugyanis a komplex vonalintegrált síkbeli felületi integrállá lehet alakítani:

$\int \mathbf {v} \mathrm {d} \mathbf {A} =\int \mathbf {v} \times \mathrm {d} \mathbf {r} =\int v_{1}\mathrm {d} y-v_{2}\mathrm {d} x$

Gauss-tétel

Lássuk először Gauss-tételle, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.

Gauss-tétel (R³-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C¹-függvény, V egyszeresen összefüggő, mérhető térrész és legyen ennek ∂V határa kifelé irányított felület. Ha V a határával együtt Dom(v)-ben van, akkor

$\oint \limits _{\partial V}\mathbf {v} \;\mathrm {d} \mathbf {A} =\int \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {v} \;\mathrm {d} V$

Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.

Felület. Legyenek a φⁱ:D_i $\to$ R³ függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(D_i)-n, melyek mérhető tarományok R²-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φ_i(D_i)) ∩ int(φ_j(D_j)) üres, ha i ≠ j, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φⁱ)-t előállítottuk paraméteres felületként.

Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:

$\mathbf {r} _{1}(\varphi ,h)=\left\{{\begin{matrix}h\sin \vartheta \cos \varphi \\h\sin \vartheta \sin \varphi \\h\end{matrix}}\right.$, ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]

$\mathbf {r} _{2}(\varphi ,h)=\left\{{\begin{matrix}r\cos \varphi \\r\sin \varphi \\H\end{matrix}}\right.$, ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]

ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].

C¹-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a

$\int \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {v} \;\mathrm {d} V=\int \limits _{\mathbf {r} ^{-1}(V)}\mathrm {div} \,\mathbf {v} (\mathbf {r} (u,v,w))|\mathrm {J} ^{\mathbf {r} }(u,v,w)|\;\mathrm {d} u\mathrm {d} v\mathrm {d} w$

képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez lézetten, ahhoz pl az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.

Egyszeresen összefüggő tartomány. A G₁: [a,b] $\to$ R³ és a G₂: [a,b] $\to$ R³ görbék homotópak, ha létezik olyan F: [0,1] × [a,b] $\to$ R³ folytonos függvény, hogy F(0,.) ≡ G₁ és F(1,.) ≡ G₂.Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a G₁ a G₂-be folytonos transzformációval átvihető. Egyszeresen összefüggő egy tartomány, ha benne minden zárt görbe homotóp a konstans görbével.

Az egyszeres összefüggőség lényeges feltétel. Gondoljunk a v(r) = r/r³ vektortérre. Ennek divergenciája 0, de az origó körüli zárt gömbfelület integrálja 4π.

Gauss-tétel (R²-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G ≡ r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor

$\oint \limits _{G}\mathbf {v} (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {A} =\int \limits _{D}\mathrm {div} \,(\mathbf {v} )\mathrm {d} A$

Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a v ' és w ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:

$\mathrm {div} \mathbf {v} '=-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0$

$\mathrm {div} \mathbf {w} '={\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}=0$

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

$\int \limits _{G}f(z)\mathrm {d} z=0$

Stokes-tétel

Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.

Stokes-tétel (R³-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felület pereme legyen a szintén Dom(v)-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor

$\oint \limits _{G}\mathbf {v} (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} =\int \limits _{F}\mathrm {rot} (\mathbf {v} )\mathrm {d} \mathbf {F}$

A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsoltos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:

Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő D nyílt halmazon értelmezett v vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivaléens egymással:

1. rot v eltűnik D-n.
2. minden D-ben haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla
3. létezik v-nek D-n potenciálja, azaz olyan Φ : D $\to$ R³ függvény, melyre grad Φ = v.

Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.

Stokes-tétel (R²-re) Legyen a D síkbeli felület határán a G zárt görbe ( r(t) ). Ha v folytonosan R-differenciálható, akkor

$\oint \limits _{G}\mathbf {v} (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} =\int \limits _{D}\mathrm {rot} (\mathbf {v} )\mathrm {d} A$

Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:

$\mathrm {rot} \mathbf {v} ={\frac {\partial u}{\partial y}}-\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)=0$

$\mathrm {rot} \mathbf {w} ={\frac {\partial v}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:

Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

$\oint \limits _{\partial T}f=0\,$

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy mondott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:

$\oint \limits _{G}f=0\,$