Komplex analízis/Komplex hatványsorok

Komplex hatványsorok

Definíció – Hatványsor – Legyen (an) komplex számsorozat és z0 ∈ C. Ekkor az ∑(an(idC-z0)n) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az $z\mapsto \sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ hozzárendelési utasítással értelmezett, a {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együttható-sorozata (an).

A továbbiakban csak a ∑(a_nzⁿ) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).

Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, $c=\limsup \limits _{n}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$ és $R=\left\{{\begin{matrix}0,&\mathrm {ha} &c=+\infty \\+\infty ,&\mathrm {ha} &c=0\\{\frac {1}{c}},&\mathrm {ha} &0<c<+\infty \end{matrix}}\right.$ akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.

A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy

$\exists \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}$

akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:

$\exists \lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}=\,''\,{\frac {1}{R}}\,''$

ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.

1. Feladat. Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?

1. $\sum \left((2i)^{n}n^{3}(z-i)^{n}\right)$
2. $\sum \left(\mathrm {arc\,sin} \left({\frac {1}{n}}\right)(z+1+i)^{n}\right)$
3. $\sum \left({\frac {in^{2008}}{n!}}z^{n}\right)$

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

Megoldás

$\left({\frac {{\sqrt {2}}+i}{\sqrt {3n}}}\right)^{n}=\left({\frac {{\sqrt {2}}+i}{\sqrt {3}}}\right)^{n}{\frac {1}{\sqrt {n^{n}}}}$

Analitikusnak nevezünk egy f komplex függvényt, a z₀ pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(a_n(z-z₀)ⁿ) hatványsor, hogy minden z ∈ B_δ(z₀)-ra f értelmezett, ∑(a_n(z-z₀)ⁿ) konvergens és

$f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

Ezt úgy jelöljük, hogy f ∈ C^ω(z₀).

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.

Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ C^ω(z₀) akkor és csak akkor, ha f ∈ Reg(z₀).

Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:

$\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z+\Delta z)^{n}-\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}((z+\Delta z)^{n}-z^{n})=$

mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:

$=\Delta z\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}\sum \limits _{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}$

vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:

${\frac {\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z+\Delta z)^{n}-\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}{\Delta z}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}\sum \limits _{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}$

a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:

$\left|a_{n}\sum \limits _{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq |a_{n}|\cdot nr^{n}$

ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugara). És

$\limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|\cdot nr^{n}}}=\limsup \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\cdot 1\cdot r\leq {\frac {1}{R}}r<1\,$

Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑_n|a_n|nrⁿ):=δ

$\left|\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z+\Delta z)^{n}-\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right|\leq |\Delta z|\cdot \sum \limits _{n=0}^{\infty }|a_{n}|nr^{n}<\varepsilon .$

Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválással kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:

$\left(\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)'=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}nz^{n-1}$