Komplex analízis/Komplex numerikus sorozatok és sorok

Komplex numerikus sorozatokSzerkesztés

Minthogy CR2 (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||2 euklideszi normával kapcsolatosak mind R2-ből ismertnek tekinthetők. Szinte említenünk sem kell, hogy a sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R2-ben:

 

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(zn))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R2-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:


Állítás – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
(an) konvergens és
(bn) konvergens.

Ekkor lim(zn) = lim(an) + i lim(bn)

További jellegzetes tételek is következnek a C-beli sorozatokra vonatkozóan:


Tétel
Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételC-beli korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Heine–Borel-tételC-beli korlátos és zárt halmaz kompakt.
Cauchy-kritériumC teljes topologikus tér, azaz minden Cauchy-sorozat konvergens.


Itt a kompaktság jelenthet topologikus kompaktságot (minden nyílt lefedéséről kiválasztható véges részlefedés) és sorozatkompaktságot is (minden a halmazban haladó sorozatból kiválasztható halmazbeli határértékű konvergens részsorozat), mely utóbbi a B.–W.-tétel egy átfogalmazása.

Továbbá (zn) Cauchy-sorozat, ha

 

NullsorozatokSzerkesztés

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat.
  1. abszolútérték: zn   0 akkor és csak akkor, ha |zn|   0
  2. eltolás: zn   z akkor és csak akkor, ha (znz)   0
  3. "K   0": ha (wn) korlátos és zn   0, akkor (wn   zn)   0
  4. majoráns: ha (δn)   0 valós és |zn| < δn, akkor zn   0
  5. hányadoskritérium: ha  , akkor zn   0
  6. gyökkritérium: ha  , akkor zn   0

Ezek közül a C-ben a legjellegzetesebb a "K   0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λn.zn skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.

Végtelenhez tartó sorozatokSzerkesztés

A (zn) komplex numerikus sorozatról akkor mondjuk, hogy a végtelenhez tart, ha

 

Tehát egy sorozat pontosan akkor tart a végtelenhez, ha az abszolút értéke tart a végtelenhez.

Műveletek és sorozathatárértékSzerkesztés

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζn) komplex sorozat nem más, mint egy

 

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

 

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Átviteli elvSzerkesztés

Az átviteli elv változatlanul érvényes C-ben is (minthogy az ebből a szempontból nem különbözik R2-től).

TételÁtviteli elv függvényhatárértékre – Legyen f: A   C függvény, ahol AC komplex részhalmaz, u az A halmaz torlódási pontja, wC. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
  1. létezik az f-nek határértéke az u pontban és  
  2. minden az u-hoz tartó, A-beli értékekből álló, de az u-t legfeljebb csak véges sokszor felvevő (zn) konvergens sorozat esetén az (f(zn)) függvényérték-sorozat konvergens és  

Geometriai sorozatSzerkesztés

Ha

  ahol |z| < 1

akkor

 

Hiszen a gyökkritériummal adódik, hogy

 

azaz a nullához tart.

FeladatokSzerkesztés

1.

 

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

2.

 

ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.

(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)

3.

 

(Útmutatás: használjuk a sorozatokra vonatkozó hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)

4.

 

(Útmutatás: használjuk a sorozatokra vonatkozó gyökkritériumot.)

5.

 

(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)

Komplex numerikus sorokSzerkesztés

Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (zn) sorozat

 

részletösszegeinek (sn) sorozatát a (zn) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(zn)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(zn) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (zn) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a

 

szimbólummal jelöljük.

KomponensekSzerkesztés

Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:

 

esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így

 

ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.

Cauchy-kritérium és abszolút konvergenciaSzerkesztés

Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.

Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.

Kritériumok az abszolút konvergenciáraSzerkesztés

Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.

Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat.
  1. Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor   konvergens és az összege:
     
  2. Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium).
  3. p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a   valós sor konvergens.
    Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a   valós sor divergens.
  4. Hányadoskritérium: ha  , akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
  5. Gyökkritérium: ha  , akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limimf" > 1, akkor divergens.

Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.