Komplex analízis/Komplex numerikus sorozatok és sorok

Komplex numerikus sorozatok

Minthogy C ≡ R² (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||₂ euklideszi normával kapcsolatosak mind R²-ből ismertnek tekinthetők. Szinte említenünk sem kell, hogy a sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R²-ben:

${\begin{matrix}(z_{n})\in \mathbf {C} ^{\mathbf {Z} ^{+}}{\mbox{ konvergens }}\\\\\Updownarrow \mathrm {def} \\\\\exists z\in \mathbf {C} \quad \forall \varepsilon \in \mathbf {R} ^{+}\quad \exists N\in \mathbf {Z} ^{+}\quad \forall n\in \mathbf {Z} ^{+}\quad (n>N\;\Rightarrow \;|z_{n}-z|<\varepsilon )\end{matrix}}$

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(z_n))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R²-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:

Állítás – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha (an) konvergens és (bn) konvergens. Ekkor lim(zn) = lim(an) + i$\cdot$lim(bn)

További jellegzetes tételek is következnek a C-beli sorozatokra vonatkozóan:

Tétel Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel – C-beli korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Heine–Borel-tétel – C-beli korlátos és zárt halmaz kompakt. Cauchy-kritérium – C teljes topologikus tér, azaz minden Cauchy-sorozat konvergens.

Itt a kompaktság jelenthet topologikus kompaktságot (minden nyílt lefedéséről kiválasztható véges részlefedés) és sorozatkompaktságot is (minden a halmazban haladó sorozatból kiválasztható halmazbeli határértékű konvergens részsorozat), mely utóbbi a B.–W.-tétel egy átfogalmazása.

Továbbá (z_n) Cauchy-sorozat, ha

$\forall \varepsilon \in \mathbf {R} ^{+}\quad \exists N\in \mathbf {Z} ^{+}\quad \forall n,m\in \mathbf {Z} ^{+}\quad (n,m>N\;\Rightarrow \;|z_{n}-z_{m}|<\varepsilon )$

Nullsorozatok

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat. abszolútérték: zn $\to$ 0 akkor és csak akkor, ha |zn| $\to$ 0 eltolás: zn $\to$ z akkor és csak akkor, ha (zn – z) $\to$ 0 "K $\cdot$ 0": ha (wn) korlátos és zn $\to$ 0, akkor (wn $\cdot$ zn) $\to$ 0 majoráns: ha (δn) $\to$ 0 valós és |zn| < δn, akkor zn $\to$ 0 hányadoskritérium: ha $\limsup \left|{\frac {z_{n+1}}{z_{n}}}\right|<1\,$, akkor zn $\to$ 0 gyökkritérium: ha $\limsup {\sqrt[{n}]{|z_{n}|}}<1\,$, akkor zn $\to$ 0

Ezek közül a C-ben a legjellegzetesebb a "K $\cdot$ 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λ_n.z_n skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.

Végtelenhez tartó sorozatok

A (z_n) komplex numerikus sorozatról akkor mondjuk, hogy a végtelenhez tart, ha

$(\forall \varepsilon >0)(\exists N\in \mathbf {Z} ^{+})(\forall n\in \mathbf {Z} ^{+})(n>N\Rightarrow |z_{n}|>{\frac {1}{\varepsilon }})$

Tehát egy sorozat pontosan akkor tart a végtelenhez, ha az abszolút értéke tart a végtelenhez.

Műveletek és sorozathatárérték

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζ_n) komplex sorozat nem más, mint egy

$\zeta :\mathbf {Z} ^{+}\to \mathbf {C}$

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

$\exists \lim \limits _{n\to \infty }z_{n}=w\in {\overline {\mathbf {C} }}\quad \Longleftrightarrow \quad \exists \lim \limits _{\infty }\zeta =w\in {\overline {\mathbf {C} }}$

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Átviteli elv

Az átviteli elv változatlanul érvényes C-ben is (minthogy az ebből a szempontból nem különbözik R²-től).

Tétel – Átviteli elv függvényhatárértékre – Legyen f: A $\to$ C függvény, ahol A ⊆ C komplex részhalmaz, u az A halmaz torlódási pontja, w ∈ C. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással: létezik az f-nek határértéke az u pontban és $\lim \limits _{z\to u}f(z)=w$ minden az u-hoz tartó, A-beli értékekből álló, de az u-t legfeljebb csak véges sokszor felvevő (zn) konvergens sorozat esetén az (f(zn)) függvényérték-sorozat konvergens és $\lim \limits _{n\to \infty }f(z_{n})=w$

Geometriai sorozat

Ha

$z_{n}=z^{n}\,$ ahol |z| < 1

akkor

$\lim \limits _{n\to \infty }z^{n}=0\,$

Hiszen a gyökkritériummal adódik, hogy

${\sqrt[{n}]{|z_{n}|}}=|z|<1$

azaz a nullához tart.

Feladatok

1.

$\left({\frac {{\sqrt {2}}+i}{\sqrt {3n}}}\right)^{n}\to ?$

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

Megoldás

$\left({\frac {{\sqrt {2}}+i}{\sqrt {3n}}}\right)^{n}=\left({\frac {{\sqrt {2}}+i}{\sqrt {3}}}\right)^{n}{\frac {1}{\sqrt {n^{n}}}}$

2.

${\frac {\sqrt[{n}]{n^{3}+2n}}{i+1}}\to ?$

ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.

(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)

Megoldás

${\frac {\sqrt[{n}]{n^{3}+2n}}{i+1}}={\frac {(i-1){\sqrt[{n}]{n^{3}+2n}}}{-1-1}}={\frac {i{\sqrt[{n}]{n^{3}+2n}}-{\sqrt[{n}]{n^{3}+2n}}}{-2}}\to {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}i$

ugyanis

$1\leftarrow {\sqrt[{n}]{n}}^{3}={\sqrt[{n}]{n^{3}}}\leq {\sqrt[{n}]{n^{3}+2n}}\leq {\sqrt[{n}]{n^{3}+{\frac {n^{3}}{2}}}}={\sqrt[{n}]{{\frac {3}{2}}n^{3}}}={\sqrt[{n}]{\frac {3}{2}}}{\sqrt[{n}]{n}}^{3}\to 1$

3.

${\frac {n!}{n^{n}}}i^{n}\to ?$

(Útmutatás: használjuk a sorozatokra vonatkozó hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)

Megoldás

${\frac {\left|{\frac {(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}i^{n+1}\right|}{\left|{\frac {n!}{n^{n}}}i^{n}\right|}}={\frac {n+1}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot (n+1)}}\to {\frac {1}{e}}<1$

azaz 0-hoz tart-

4.

${\frac {1}{\left(1+{\frac {i}{n}}\right)^{n^{4}}}}\to ?$

(Útmutatás: használjuk a sorozatokra vonatkozó gyökkritériumot.)

Megoldás

${\sqrt[{n}]{\left|1+{\frac {i}{n}}\right|^{n^{4}}}}=\left|1+{\frac {i}{n}}\right|^{n^{3}}=\left({\sqrt {\left(1+{\frac {1}{n^{2}}}\right)^{n^{2}}}}\right)^{n}\geq 2^{n}\to +\infty$

Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.

5.

$\left({\frac {n+i}{n}}\right)^{n}\to ?$

(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)

Megoldás

$\left({\frac {n+i}{n}}\right)^{n}=\left({\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}\right)^{n}\cdot \left(\cos \left(n\,\mathrm {arc\,tg} \left({\frac {1}{n}}\right)\right)+i\sin \left(n\,\mathrm {arc\,tg} \left({\frac {1}{n}}\right)\right)\right)\to$

$\to \cos 1+i\sin 1\,$

Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.

Komplex numerikus sorok

Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (z_n) sorozat

$s_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}z_{k}$

részletösszegeinek (s_n) sorozatát a (z_n) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(z_n)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(z_n) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (z_n) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }z_{n}$

szimbólummal jelöljük.

Komponensek

Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:

$\sum (z_{n})=\sum (x_{n}+iy_{n})\,$

esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így

$\sum (z_{n})=\sum (x_{n})+i\sum (y_{n})\,$

ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.

Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia

Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.

Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.

Kritériumok az abszolút konvergenciára

Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.

Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat. Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor $\sum \limits _{(0)}(z^{n})$ konvergens és az összege: $\sum \limits _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}$ Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium). p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a $(\sum \limits _{1}{\frac {1}{n^{p}}})$ valós sor konvergens. Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a $(\sum \limits _{1}{\frac {1}{n^{p}}})$ valós sor divergens. Hányadoskritérium: ha $\limsup \left|{\frac {z_{n+1}}{z_{n}}}\right|<1\,$, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens Gyökkritérium: ha $\limsup {\sqrt[{n}]{|z_{n}|}}<1\,$, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limimf" > 1, akkor divergens.

Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.