Komplex analízis/Néhány elemi függvény

Elemi függvények

Hatványfüggvények

A

$w=z^{n}\,$

típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:

Mivel

$(z^{n})'=nz^{n-1}\,$

ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre $\scriptstyle {F'(z)=z^{n}}$ nem más, mint

$F(z)={\frac {z^{n+1}}{n+1}}+C\,$

ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.

Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] $\to$ C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:

$\int \limits _{G}f(z)\,\mathrm {d} z\,=_{\mathrm {def} }\lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{i=1}^{n}f(z_{i})\cdot \Delta z_{i}$

Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt z_i mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.

Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és f komplex integrálható, akkor z₁ és z₂ a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:

$F(z_{2})-F(z_{1})=\int \limits _{G}f(z)\,\mathrm {d} z\,$

Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.

1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a

$\int \limits _{G}3z^{2}+1\,\mathrm {d} z\,$

integrált.

2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az

a) $\int \limits _{G}{\frac {1}{z^{2}}}\,\mathrm {d} z\,$ és a b) $\int \limits _{G}{\frac {z+1}{z}}\,\mathrm {d} z\,$

integrál.

A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.

Exponenciális függvény

$e^{z}=_{\mathrm {def} }\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,$

Ebből kiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

$e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}\cdot (\cos y+i\sin y)\,$

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:

$e^{z+2\pi i}=e^{z}\cdot e^{2\pi i}=e^{z}\cdot e^{0}\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )=e^{z}(1+0i)\,$

3. Feladat. Oldjuk meg az

$e^{z}=1+i\;$

egyenletet!

Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:

$1+i=e^{\ln {\sqrt {2}}}\cdot e^{i{\frac {\pi }{4}}}\,$

így

$z=\ln {\sqrt {2}}+i{\frac {\pi }{4}}+2\pi i\,$

4. Feladat. Oldjuk meg az

$e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,$

egyenletet!

Komplex logaritmus és a reciprok integrálja

Tekintsük a

$w=e^{z}\,$

hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:

$w=re^{i\varphi }=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}\,$

azaz

$r=e^{x}\,$ és $\varphi =y\,$

Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y₁ = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy₁ ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.

Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:

$\int \limits _{G_{1}}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} x$

$\int \limits _{G_{2}}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} x$

ahol G₁ az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G₂ az egységkör a - irányban i-től -i-ig.

$\int \limits _{i,\,(G_{1})}^{-i}{\frac {1}{z}}\mathrm {d} z=[\mathrm {Log} (z)]_{i}^{-}i=\mathrm {Log} (e^{i{\frac {3}{2}}\pi })-\mathrm {Log} (e^{{\frac {1}{2}}\pi })=i\pi \,$

ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg

$\int \limits _{i,\,(G_{2})}^{-i}{\frac {1}{z}}\mathrm {d} z=[\mathrm {Log} (z)]_{i}^{-}i=\mathrm {Log} (e^{-i{\frac {1}{2}}\pi })-\mathrm {Log} (e^{{\frac {1}{2}}\pi })=-i\pi \,$

mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.

Más számítással:

$\int \limits _{i,\,(G_{1})}^{-i}{\frac {1}{z}}\mathrm {d} z=\int \limits _{t={\frac {\pi }{2}}}^{\frac {3\pi }{2}}{\frac {1}{z(t)}}\cdot {\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\int \limits _{t={\frac {\pi }{2}}}^{\frac {3\pi }{2}}e^{-it}ie^{it}\mathrm {d} t=[it]_{t={\frac {\pi }{2}}}^{\frac {3\pi }{2}}$

Trigonometrikus függvények

$\sin z=_{\mathrm {def} }\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,$

$\cos z=_{\mathrm {def} }\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}\,$

Világos, hogy valós φ-re:

$e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )\,$

A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:

$\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll

$\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1\,$

6. Feladat. Oldjuk meg az

$\sin 4z=0\,$

egyenletet!

Hiperbolikus függvények

$\mathrm {sh} \,z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

$\mathrm {ch} \,z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}$

7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!

Mo.

$\mathrm {sh} \,iz={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2}}$

8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki

$\int \limits _{(G)}{\frac {e^{z}}{z}}\mathrm {d} z\,$

$\int \limits _{(G)}{\frac {\sin(z)}{z^{4}}}\mathrm {d} z\,$

Mo.

$\int \limits _{(G)}{\frac {1}{z}}+1+{\frac {1}{2}}z+...\mathrm {d} z\,=2\pi i$

$\int \limits _{(G)}{\frac {1}{z^{3}}}-{\frac {1}{2z}}+{\frac {1}{4!}}z+...\mathrm {d} z\,=-\pi i$