Komplex analízis/Topologikus fogalmak

Komplex számkör és reprezentációi

A komplex számok C halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.

Algebrai modell

A komplex számok olyan

$a+b\mathrm {i} \,$

alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy

$\mathrm {i} ^{2}=-1\,$

A komplex számok halmazát a C szimbólummal jelöljük. Akárcsak a legfeljebb elsőfokú a + bx alakú polinomok esetén, a C-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az a + bx alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i²=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az a + bi alakú kifejezések körébe. Ezért lesz C zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.

Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:

Állítás. A C számkör a komplex számok (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i összeadásával és a λ(a+bi) = λa + λbi, a λ valós számmal való szorzással kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok R2 vektorterével.

Halmazelméleti modell

Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az a + bi alakú formális kifejezéseken az R[X] polinomgyűrűnek az (1+X²) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).

A számpár reprezentációban:

$\mathbf {C} =\mathbf {R} ^{2}\,$

az összeadás az R²-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a

$(a+b\mathrm {i} )(c+d\mathrm {i} )=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm {i} \,$

művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.

Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a C örökli az R² topológiáját.

Geometriai modell

A szorzással együtt C egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M_2×2 (R) algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az R² síkon:

$\mathbf {C} \ni z=r\cdot (\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )\;\cong \;{\begin{pmatrix}r\cos \varphi &-r\sin \varphi \\r\sin \varphi &r\cos \varphi \end{pmatrix}}\in \mathrm {M} _{2\times 2}(\mathbf {R} )$

Világos, hogy ekkor az a + bi kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:

$\left\{{\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}\in \mathrm {M} _{2\times 2}(\mathbf {R} ):a,b\in \mathbf {R} \right\}$

Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M_2×2 (R) algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.

C topológiája

R² gömbi környezetei lesznek C gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom C-ben R²-re vezetünk vissza. Tehát, adott r > 0 valós számra és z₀ ∈ C számra:

$\mathrm {B} _{r}(z_{0})\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\{z\in \mathbf {C} \mid |z-z_{0}|<r\}$

az r sugarú z₀ középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||₂ euklideszi norma, elvileg R² bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ C nyílt, ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:

$\forall z\in \Omega \quad \exists r>0\quad \mathrm {B} _{r}(z)\subseteq \Omega$

Egy A ⊆ C halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van A-ban

$\mathrm {int} (A)=\{z\in \mathbf {C} \mid \exists r>0\quad \mathrm {B} _{r}(z)\subseteq A\}$

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az A ⊆ C halmazon értelmezett f függvény folytonos a z ∈ A pontban, ha z-ben f folytonos mint R² ⊇ A $\to$ R² függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk: $f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm {i} \cdot v(x,y)$ ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z0 = x0 + iy0 ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek: f folytonos a z0-ban u és v függvények folytonosak az (x0,y0)-ban

A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a $z=x+iy$ pontban a lim_x u + i lim_y v szám adja. Ekkor

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvény létezik határértéke és az a helyettesítési érték. $\lim \limits _{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0})$

Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!

1. $z\mapsto w+z\,$
2. $z\mapsto w\cdot z\,$
3. $z\mapsto {\overline {z}}\,$
4. $z\mapsto {\frac {1}{z}}\quad \quad (z\neq 0)$

(Útmutatás: igazoljuk definíció szerint, vagy használjuk fel, hogy véges dimenziós terek között ható lineáris leképezés folytonos.)

Megoldás

Az 1. az R²-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.

2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.

3. azaz a konjugálás: (x,y) $\mapsto$ (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.

Végül a reciprok:

${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}$

így, mint R² ⊃$\to$ R² függvény:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}{\cfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\{\cfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\end{pmatrix}}$

amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

$f(z)=\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {\mathrm {Im} (z)^{3}+\mathrm {i} \cdot \mathrm {Re} (z)^{4}}{{\overline {z}}\cdot z}},\quad \quad \mathrm {ha} \;z\neq 0\\\\0,\quad \quad \mathrm {ha} \;z=0\end{matrix}}\right.$

(Útmutatás: írjuk át kétváltozós valós vektorfüggvénnyé és vizsgáljuk a komponensfüggvények folytonosságát a (0,0)-ban; használjuk a többváltozós függvények határértéke és folytonossága közötti összefüggést! )

Megoldás

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

$f(x,y)={\begin{pmatrix}{\cfrac {y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}\\{\cfrac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}\end{pmatrix}}$

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

$\left|{\cfrac {y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}\right|=|y|\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\leq |y|\cdot {\frac {y^{2}}{y^{2}}}=|y|$

és

$\left|{\cfrac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}\right|=x^{2}\cdot {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\leq x^{2}\cdot {\frac {x^{2}}{x^{2}}}=x^{2}$

így (x,y)$\to$(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.

Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R²-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.

Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z0 pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor f + g f $\cdot$ g ${\overline {f}}$ g(z0) ≠ 0 esetén f/g is folytonos z0-ban.

Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

C kompaktifikálása

Kompakt egy K halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a K-t. Szimbolikusan:

K kompakt, ha minden (Ω_i)_i∈I halmazrendszerhez, melyre

1. Ω_i nyílt minden i∈I-re és
2. K ⊆ U(Ω_i)_i∈I

létezik J ⊆ I véges indexhalmaz, hogy K ⊆ U(Ω_i)_i∈J

R^N-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga C nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont C egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével C kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely R³-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.

A Riemann-gömb és a sztereografikus projekció

A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az R³-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az [xy] síkra, mint a C komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú P pólust és egy a + bi komplex szám esetén az (a,b,0) pontot kössük össze P-vel egy e egyenes által. Ekkor az e egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az a + bi-nek megfelelő pontot. Ha az a + bi-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:

$a+b\mathrm {i} ={\frac {x+\mathrm {i} y}{1-z}}\,$

Feladat. Igazoljuk a fenti összefüggést!

(Útmutatás: használjuk fel, hogy hasonló háromszögek megfelelő oldapárjainak aránya egyenlő.)

Megoldás

Vegyük az R Riemann-gömbfelület egy (x,y,z) pontját, azaz:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\,$

Jelöljük A-val a neki megfelelő komplex számot jelölő pontot. Ekkor a POAD téglalapot berajzolva felírhatjuk a keresett r = OA = PD távolságot. Eszerint a PAD háromszögben és a vele hasonló P, (x,y,z), (x,y,1) csúcsokkal rendelkező háromszög arányaiból:

${\frac {r}{1}}={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{1-z}}$

Mivel egy OA irányú egységhosszú komplex szám a

${\frac {x+\mathrm {i} y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,$

ezért az A-nak megfleelő komplex szám ennek az r szerese:

$A={\frac {x+\mathrm {i} y}{1-z}}\,$

Megjegyzés. Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis

$z={\frac {x+\mathrm {i} y}{1-h}}\,$ és $w={\frac {x+\mathrm {i} y}{1+h}}\,$

Ekkor a z konjugáltját a w-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:

$w\cdot {\overline {z}}=1\,$

Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy w nem más, mint a z inverziója az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a

$w={\frac {1}{\,{\overline {z}}\,}}\,$

leképezés. Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi.

Ha tehát a C-hez hozzáveszünk egy ∞-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a P pólust, akkor a

${\overline {\mathbf {C} }}=\mathbf {C} \cup \{\infty \}\,$

halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell ∞ gömbi környezeteit. Ezek a következő alakú halmazok lesznek:

$\mathrm {B} _{r}(\infty )=\left\{z\in \mathbf {C} :|z|>{\frac {1}{r}}\right\}\cup \{\infty \}\,$

ahol r > 0.

Feladat. Igazoljuk, hogy CU{∞} kompakt és sorozatkompakt (ez utóbbi azt jelenti, hogy minden benne haladó sorozatból kiválasztható olyan határértékkel rendelkező részsorozat, melynek határértéke is a halmazban van)! Megjegyezzük, hogy valójában a két kijelentés közül bármelyik következik a másikból, mert a kompaktság és a sorozatkompaktság Haussdorf-féle topologikus terekben ekvivalens.

(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)

Megoldás

1. Ha CU{∞}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor ∞-t is lefedi belőlük egy, mondjuk U. U lefedi az ∞ egy gömbi környezetét, mondjuk B_r(∞)-t. Elegendő tehát tekintenünk CU{∞} lefedéséhez a halmazrendszerből az U-t és a B_r(∞) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert B_r(∞) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.

2. Vegyünk egy CU{∞}-ben haladó sorozatot. Ha végtelen sokszor veszi fel az ∞-t, akkor a konstans ∞ részsorozat választható ki belőle. Ellenkező esetben a ∞ nélküli tagjaiból alkotott sorozat vagy korlátos C-ben, vagy nem. Ha korlátos, akkor létezik konvergens részsorozata (B-W). Ha nem korlátos, akkor egyszerű módon kiválaszthatóbelőle egy az ∞-hez tartó sorozat.

Határérték

Komplex függvény C-beli pontban vett C-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az R² esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.

A ∞ miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen f egy az A ⊆ C halmazon értelmezett, C-be képező függvény. Legyen $\scriptstyle {u\in {\overline {\mathbf {C} }}}$ az A torlódási pontja, azaz minden r > 0 esetén legyen olyan a ∈ A, hogy a ∈ B_r(u)\{u}. Azt mondjuk, hogy az f-nek a $\scriptstyle {v\in {\overline {\mathbf {C} }}}$ elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden z ∈ A ∩ B_δ(u)\{u}-re f(z) ∈ B_ε(v)

ahol természetesen a ∞ környezetei a már említett módon értendők.

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

1. $\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}=\infty$
2. $\lim \limits _{z\to \infty }{\frac {1}{z}}=0$

(Útmutatás: δ := ε.)

Megoldás

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

$\left|{\frac {1}{z}}\right|>{\frac {1}{\varepsilon }}$

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

$|z|<\varepsilon$

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:

$\left|{\frac {1}{z}}\right|<\varepsilon$

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

$|z|>{\frac {1}{\varepsilon }}$

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:

Ha a és b valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az a * b alapműveletet akkor értelmezzük a c szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha minden a határértékű f függvény esetén és minden b határértékű g függvény esetén a f*g szükségszerűen a c-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az

a * b = c

definíció jó.

Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 $\cdot$ ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) $\cdot$ Re(z) $\to$ 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) $\cdot$ 2 Re(z) $\to$ 2 a z=0-ban.

Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám: $\infty +z=\infty$, $\infty -z=\infty ,\quad \quad z-\infty =\infty$, $\infty \cdot \infty =\infty ,\quad \quad \infty \cdot n=\infty$, ${\frac {z}{\infty }}=0\quad \quad {\frac {\infty }{z}}=\infty$, továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy ${\overline {\infty }}=\infty$, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők: $\infty +\infty =\infty ,\quad \quad \infty -\infty$, $0\cdot \infty ,\quad \quad \infty \cdot 0$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, ${\frac {0}{0}}$

Ezek a definíciók, a definíció előtt említett elv értelmében jók, azaz

Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az $\scriptstyle {u\in {\overline {\mathbf {C} }}}$ helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez: $\lim \limits _{u}(f{\mbox{*}}g)=\lim \limits _{u}f\,{\mbox{*}}\,\lim \limits _{u}g\,$ Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A bizonyításról. Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az R²-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:

$\exists \lim \limits _{z_{0}}f=\infty \quad \Longleftrightarrow \quad \exists \lim \limits _{z_{0}}|f|=+\infty$

Feladat. Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni. (Útmutatás: használjuk fe, hogy lim_{z $\to$ 0}1/z = ∞.)

Megoldás

Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:

${\underset {\underset {\infty }{\downarrow }}{\frac {2}{z}}}\;-\;{\underset {\underset {\infty }{\downarrow }}{\frac {1}{z}}}={\frac {1}{z}}\quad \to \infty$ miközben ${\underset {\underset {\infty }{\downarrow }}{\left({\frac {1}{z}}+2\right)}}\;-\;{\underset {\underset {\infty }{\downarrow }}{\frac {1}{z}}}=2\quad \to 2$

${\underset {\underset {\infty }{\downarrow }}{\frac {1}{z}}}\;\cdot \;{\underset {\underset {0}{\downarrow }}{z}}=1\quad \to 1$ miközben ${\underset {\underset {\infty }{\downarrow }}{\frac {2}{z}}}\;\cdot \;{\underset {\underset {0}{\downarrow }}{z}}=2\quad \to 2$

${\frac {\overset {\overset {\infty }{\uparrow }}{\;{\cfrac {1}{z}}\;}}{\underset {\underset {\infty }{\downarrow }}{\cfrac {1}{z}}}}=1\quad \to 1$ miközben ${\frac {\overset {\overset {\infty }{\uparrow }}{\cfrac {2}{z}}}{\underset {\underset {\infty }{\downarrow }}{\;{\cfrac {1}{z}}\;}}}=2\quad \to 2$

${\frac {\overset {\overset {0}{\uparrow }}{\;z\;}}{\underset {\underset {0}{\downarrow }}{z}}}=1\quad \to 1$ miközben ${\frac {\overset {\overset {0}{\uparrow }}{2z}}{\underset {\underset {0}{\downarrow }}{\;z\;}}}=2\quad \to 2$

Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!

1. $\lim \limits _{z\to 0}{\frac {\mathrm {Im} (z)}{z}}$,
2. $\lim \limits _{z\to i}{\frac {z-i}{z^{2}+1}}$,
3. $\lim \limits _{z\to 1}{\frac {{\frac {1}{z-1}}+i}{{\frac {1}{z^{2}-1}}-i}}$,
4. $\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}-{\frac {2}{\overline {z}}}$,
5. $\lim \limits _{z\to -i}{\frac {{\frac {1}{z+i}}+i}{{\overline {z}}-i}}$,

(Útmutatás: algebrai átalakítások után tekintsük a komponensfüggvények határértékét vagy vezessük vissza már ismert komplex határértékekre.)

Megoldás

1. nemnulla z-re:

${\frac {\mathrm {Im} (z)}{z}}={\frac {\mathrm {Im} (z){\overline {z}}}{z{\overline {z}}}}={\frac {yx-y^{2}\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}$

de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.

2. ${\frac {z-i}{z^{2}+1}}={\frac {z-i}{(z+i)(z-i)}}={\frac {1}{z+i}}\quad {\underset {z\to -i}{\longrightarrow }}\quad \infty$

3. ${\frac {{\frac {1}{z-1}}+i}{{\frac {1}{z^{2}-1}}-i}}={\frac {\frac {1+iz-i}{z-1}}{\frac {1-iz^{2}+i}{z^{2}-1}}}={\frac {1+iz-i}{z-1}}\cdot {\frac {(z+1)(z-1)}{1-iz^{2}+i}}$

$\left.{\frac {iz+1-i}{-iz^{2}+i+1}}(z+1)\right|_{1}={\frac {1}{1}}\cdot 1$

4. ${\frac {1}{z}}-{\frac {2}{\overline {z}}}={\frac {{\overline {z}}-2z}{z{\overline {z}}}}$ csak a valós részt nézve:

$\left|{\frac {-x}{x^{2}+y^{2}}}\right|$

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.

5. $\lim \limits _{z\to -i}{\frac {{\frac {1}{z+i}}+i}{{\overline {z}}-i}}=\left({\frac {\infty }{0}}\right)=\infty$.

Feladat. Adjuk meg minden z₀ ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!

1. $f(z)={\frac {z}{{\overline {z}}-z}}$,
2. $f(z)={\frac {z^{2}}{{\overline {z}}z-1}}$,

(Útmutatás: írjuk fel az értelmezési tartományukat, vizsgáljuk azon belül a folytonosságot, a határon pedig a határértéket.)

Megoldás

1. $\mathrm {Dom} (f)=\{z\in \mathbf {C} \mid {\overline {z}}\neq z\}$

Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:

${\frac {z}{{\overline {z}}-z}}={\frac {x+iy}{2iy}}\,$

z₀ ≠ 0 esetén

$\left|{\frac {x+iy}{2iy}}\right|\geq {\frac {|z_{0}|/2}{2|y|}}\to \infty$

z₀ = 0 esetén:

${\frac {x+iy}{2iy}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {x}{2y}}$

ismert, hogy nincs határérték.

2. $\mathrm {Dom} (f)=\{z\in \mathbf {C} \mid {\overline {z}}z\neq 1\}$

Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:

$|f(z)|={\frac {|z|^{2}}{|{\overline {z}}z-1|}}$,

így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig t valóssal:

$\lim \limits _{t\to +\infty }f(t+0.i)=\lim \limits _{t\to +\infty }{\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}=1\,$

$\lim \limits _{t\to +\infty }f(t.i)=\lim \limits _{t\to +\infty }{\frac {-t^{2}}{t^{2}-1}}=-1\,$