Matematika/Deriválás/L'Hopital

A L’Hôpital-szabály egy jól használható módszere arra, hogy egy függvény határértékét kiszámítsuk, mikor a függvényműveletek ${\mbox{ }}_{\frac {0}{0}}$ alakú határértékhez vezetnek, vagy végtelen per végtelen.

Az egyszerű L’Hôpital-szabály

Tétel – Egyszerű L’Hôpital-szabály – Legyen f és g olyan valós-valós függvény és u olyan pont, hogy f és g differenciálható u-ban, de g'(u) nem 0. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke u-ban és

$\lim \limits _{x\to u}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(u)}{g'(u)}}$

Ismételt „L’Hôpitálás”

Előfordulhat, hogy u-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L’Hôpital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például f és g n+1-szer differenciálható u-ban, de egészen az n-edik deriváltig az összes magasabbrendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén): $\lim \limits _{x\to u}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f^{(n+1)}(u)}{g^{(n+1)}(u)}}$

Példa

$\lim \limits _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{\sin x}}$

esetén $e^{x}-1=0$ és ${\sin x}=0$. Alkalmazzuk a L’Hôpital-szabályt:

${\begin{aligned}\lim \limits _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{\sin x}}&={\frac {(e^{x}-1)'(0)}{(\sin x)'(0)}}&={\frac {e^{0}}{\cos 0}}={\frac {1}{1}}=1\end{aligned}}$