Állandó függvény deriválása: ha f (x ) állandó, akkorf ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0\,} ( a f ( x ) + b g ( x ) ) ′ = a f ′ ( x ) + b g ′ ( x ) {\displaystyle (af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)\,} bármely f és g függvényre és bármely a és b valós számra.Speciális esetek:
( a f ) ′ = a f ′ {\displaystyle (af)'=a\,f'\,} ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,} ( f − g ) ′ = f ′ − g ′ . {\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,} függvények szorzat ának deriválása: ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,} bármely f és g függvényre.függvények hányados ának deriválása: ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g 2 ( x ) {\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}} bármely f és g függvényre, ahol g ≠ 0.összetett függvény deriválása:( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\,} .Elemi függvények deriváltjai
szerkesztés
hatványok deriváltjai: ha f ( x ) = x r {\displaystyle f(x)=x^{r}} , bármely (nem zéró) r valós számra, akkorf ′ ( x ) = r x r − 1 , {\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},} ahol ez a függvény értelmezett.Példa: ha r = 1/2, akkor f'(x) = (1/2)x −1/2 csak nem negatív x -szel értelmezett. Ha r = 0, az állandó függvény deriválási szabálya alkalmazható.
exponenciális és logaritmus függvények:( a x ) ′ = a x l n ( a ) . {\displaystyle (a^{x})'=a^{x}ln(a).}
( e x ) ′ = e x . {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}
l n ′ ( x ) = 1 / x . {\displaystyle ln'(x)=1/x.}
( f ( x ) g ( x ) ) ′ = g ( x ) f ( x ) g ( x ) − 1 f ′ ( x ) + f ( x ) g ( x ) l n f ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=g(x)f(x)^{g(x)-1}f'(x)+f(x)^{g(x)}lnf(x)g'(x).} trigonometriai függvények:sin ′ ( x ) = cos ( x ) . {\displaystyle \sin '(x)=\cos(x).}
cos ′ ( x ) = − sin ( x ) . {\displaystyle \cos '(x)=-\sin(x).}
tan ′ ( x ) = 1 / c o s 2 ( x ) . {\displaystyle \tan '(x)=1/cos^{2}(x).}
f ( x ) = x 4 + sin ( x 2 ) − ln ( x ) e x + 7 {\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\ } deriváltja
f ′ ( x ) = 4 x ( 4 − 1 ) + ( x 2 ) ′ cos ( x 2 ) − ( ln x ) ′ e x − ln x ( e x ) ′ + 0 = 4 x 3 + 2 x cos ( x 2 ) − 1 x e x − ln ( x ) e x . {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+(x^{2})'\cos(x^{2})-(\ln {x})'e^{x}-\ln {x}(e^{x})'+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}} Itt a második tag deriváltját az összetett függvények deriválási szabályával számítottuk ki, a harmadik tagot pedig a függvények szorzatának deriválási szabályával: a következő elemi függvények ismert deriváltjait is felhasználtuk: x 2 , x 4 , sin(x ), ln(x ) és exp(x ) = e x .