Matematika/Integrálszámítás/Szabályok

Alapintegrálok

Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.

$\int x^{n}\,dx$	$={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} )$
$\int x^{\alpha }\,dx$	$={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ^{+},-1\neq \alpha \in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{x}}\,dx$	$=\,\ln |x|+c$	$(0\neq x\in \mathbb {R} )$
$\int e^{x}\,dx$	$=\,e^{x}+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int a^{x}\,dx$	$={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ,1\neq a\in \mathbb {R} ^{+})$
$\int \sin x\,dx$	$=-\cos x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int \cos x\,dx$	$=\sin x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,dx$	$=-\mathrm {ctg} \,x\,+c$	$(k\pi \neq x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} )$
$\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,dx$	$=\mathrm {tg} \,x\,+c$	$\left({\frac {k\pi }{2}}\neq x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} \right)$
$\int \mathrm {sh} \,x\,dx$	$=\mathrm {ch} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int \mathrm {ch} \,x\,dx$	$=\mathrm {sh} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}x}}\,dx$	$=-\mathrm {cth} \,x\,+c$	$(0\neq x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}x}}\,dx$	$=\mathrm {th} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx$	$=\mathrm {arc\,tg} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,dx$	$={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|+c$	$=\left\{{\mathrm {ar\,th} \,x+c\quad (1>|x|\in \mathbb {R} ) \atop \mathrm {ar\,ch} \,x+c\quad (1<|x|\in \mathbb {R} )}\right.$
$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx$	$=\mathrm {arc\,sin} x\,+c$	$(1>|x|\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx$	$=\mathrm {ar\,sh} \,x+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx$	$=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+c$	$=\left\{\;{\mathrm {ar\,ch} \,x+c\quad \quad (1<x\in \mathbb {R} ) \atop \!-\mathrm {ar\,ch} (-x)+c\quad (1>x\in \mathbb {R} )}\right.$