Matematika/Mátrix/Determináns

2×2-es mátrix determinánsa

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

2×2-es mátrix determinánsa

$\det(A)=ad-bc.\,$

3×3-as mátrix determinánsa

$A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$

3×3-as mátrix determinánsa

$\det(A)=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg.$

ami tovább

$\det(A)=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg.\,$

Magasabb dimenziós mátrixok determinánsa

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

$n\times n$-es mátrix determinánsa

Egy négyzetes mátrix determinánsát a mátrix egy sora, vagy oszlopa szerint tudunk kifejteni. A kifejtésre rekurziós formula adható, mert az $n\times n$-es mátrix determinánsának definíciójában $(n-1)\times (n-1)$-es mátrixok determinánsa szerepel.

• $1\times 1$-es mátrix determinánsa önmaga: $\det(a)=a$

Most az első sora szerinti kifejtést fogom részletezni. Ez azt jelenti, hogy végigmegyünk az első soron, és aszerint számolunk. Jelölje :$A_{ij}$ az i. sor és a j. oszlop elhagyásával keletkező minormátrixot! A minormátrixok determinánsát aldeterminánsnak nevezzük. A kifejtés során minden tagban a $a_{1j}\det(A_{1j})$ kifejezést meg kell szorozni $(-1)^{1+j}$-vel Ekkor a determináns az első sor szerinti kifejtést használva:

$\det(A)=a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+a_{13}\det(A_{13})-+...+(-1)^{1+n}a_{1n}\det(A_{1n})=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j}).\,$

Igazolható, hogy a mátrix determinánsa bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető, az előjelváltogatást sakktábla szerint kell alkalmazni, és mindig a megfelelő elemnél vett aldeterminánst kell számolni(a sakktáblaszabály miatt volt az első sorban az előjelváltogatás):

$A={\begin{pmatrix}+&-&+&\dots \\-&+&-&&\\+&-&+&\dots &\\\vdots &&\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}$

Általánosan, bármely sora vagy oszlopa szerint meghatározhatjuk a mátrix determinánsát. Az $i$-edik sor szerinti kifejtés $\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).\,$ A $j$-edik sor szerinti kifejtés $\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).\,$

Kifejtési tétel: Egy mátrix determinánsa bármely sora vagy oszlopa szerinti kifejtés esetén megegyezik. $\det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).\,$

Példa: Legyen:

$A={\begin{bmatrix}2&1&1&1\\4&3&6&4\\6&7&21&16\\2&3&15&23\end{bmatrix}}$

Ekkor det(A)=12, mivel:

$\det(A)=a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+a_{13}\det(A_{13})-+...+(-1)^{n+1}a_{1n}\det(A_{1n}).\,$

, azaz:

$\det(A)=2{\begin{vmatrix}3&6&4\\7&21&16\\3&15&23\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}4&6&4\\6&21&16\\2&15&23\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}4&3&4\\6&7&16\\2&3&23\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}4&3&6\\6&7&21\\2&3&15\end{vmatrix}}.\,$

, ahol a 3×3-as mátrixok determinánsának a kiszámítása az előző pontban már ismertetett módon történik,tehát:

$\det(A)=2*(3*243-6*113+4*42)-1*(4*243-6*106+4*48)+1*(4*113-3*106+4*4)-1*(4*42-3*48+6*4).\,$

Determinánsok Tulajdonságai

• Két azonos méretű mátrix determinánsainak szorzata egyenlő a mátrixok szorzatának determinánsával:

$\det(AB)=\det(A)\det(B)\,$, bármely $A$ és $B$ n×n mátrixra.

• $\det(rI_{n})=r^{n}\,$, ebből következik

$\det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,$, bármely $A$ n×n mátrixra és bármely $r$ skalárra.

• $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}=1/det(A)\,$

• Egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanaz a determinánsa:

$\det(A^{\top })=\det(A).\,$

• Egy $A$ mátrix determinánsa a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
  1. Sorok vagy oszlopok felcserélése a determináns −1-el való szorzását okozza.
  2. Egy sor vagy oszlop $m$-el való szorzása a determináns $m$-el való szorzását okozza.
  3. Egy sor vagy oszlop többszörösének hozzáadása egy másikhoz nem változtat a determinánson.
  4. A determináns nulla, ha a mátrix oszlopai vagy sorai lineárisan összefüggnek
  5. Ha valamelyik oszlopa vagy sora csupa nulla, akkor az előző pontból következően a determináns nulla. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a determinánst a csupa nulla sor vagy oszlop szerint kezdjük el kifejteni.

Példa

TODO