Matematika/Mátrix/Determináns
Definíciók, jelölésSzerkesztés
2×2-es mátrix determinánsaSzerkesztés
2×2-es mátrix determinánsa
3×3-as mátrix determinánsaSzerkesztés
3×3-as mátrix determinánsa
ami tovább
Magasabb dimenziós mátrixok determinánsaSzerkesztés
-es mátrix determinánsa
Egy négyzetes mátrix determinánsát a mátrix egy sora, vagy oszlopa szerint tudunk kifejteni. A kifejtésre rekurziós formula adható, mert az -es mátrix determinánsának definíciójában -es mátrixok determinánsa szerepel.
- -es mátrix determinánsa önmaga:
Most az első sora szerinti kifejtést fogom részletezni. Ez azt jelenti, hogy végigmegyünk az első soron, és aszerint számolunk. Jelölje : az i. sor és a j. oszlop elhagyásával keletkező minormátrixot! A minormátrixok determinánsát aldeterminánsnak nevezzük. A kifejtés során minden tagban a kifejezést meg kell szorozni -vel Ekkor a determináns az első sor szerinti kifejtést használva:
Igazolható, hogy a mátrix determinánsa bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető, az előjelváltogatást sakktábla szerint kell alkalmazni, és mindig a megfelelő elemnél vett aldeterminánst kell számolni(a sakktáblaszabály miatt volt az első sorban az előjelváltogatás):
Általánosan, bármely sora vagy oszlopa szerint meghatározhatjuk a mátrix determinánsát. Az -edik sor szerinti kifejtés A -edik sor szerinti kifejtés
Kifejtési tétel: Egy mátrix determinánsa bármely sora vagy oszlopa szerinti kifejtés esetén megegyezik.
Példa: Legyen:
Ekkor det(A)=12, mivel:
, azaz:
, ahol a 3×3-as mátrixok determinánsának a kiszámítása az előző pontban már ismertetett módon történik,tehát:
Determinánsok TulajdonságaiSzerkesztés
- Két azonos méretű mátrix determinánsainak szorzata egyenlő a mátrixok szorzatának determinánsával:
- , bármely és n×n mátrixra.
- , ebből következik
- , bármely n×n mátrixra és bármely skalárra.
- Egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanaz a determinánsa:
- Egy mátrix determinánsa a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- Sorok vagy oszlopok felcserélése a determináns −1-el való szorzását okozza.
- Egy sor vagy oszlop -el való szorzása a determináns -el való szorzását okozza.
- Egy sor vagy oszlop többszörösének hozzáadása egy másikhoz nem változtat a determinánson.
- A determináns nulla, ha a mátrix oszlopai vagy sorai lineárisan összefüggnek
- Ha valamelyik oszlopa vagy sora csupa nulla, akkor az előző pontból következően a determináns nulla. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a determinánst a csupa nulla sor vagy oszlop szerint kezdjük el kifejteni.
PéldaSzerkesztés
TODO