Matematika/Mátrix/Determináns

Definíciók, jelölés

szerkesztés

2×2-es mátrix determinánsa

szerkesztés
 

2×2-es mátrix determinánsa

 


3×3-as mátrix determinánsa

szerkesztés
 

3×3-as mátrix determinánsa

 

ami tovább

 

Magasabb dimenziós mátrixok determinánsa

szerkesztés
 

 -es mátrix determinánsa

Egy négyzetes mátrix determinánsát a mátrix egy sora, vagy oszlopa szerint tudunk kifejteni. A kifejtésre rekurziós formula adható, mert az  -es mátrix determinánsának definíciójában  -es mátrixok determinánsa szerepel.

  •  -es mátrix determinánsa önmaga:  

Most az első sora szerinti kifejtést fogom részletezni. Ez azt jelenti, hogy végigmegyünk az első soron, és aszerint számolunk. Jelölje :  az i. sor és a j. oszlop elhagyásával keletkező minormátrixot! A minormátrixok determinánsát aldeterminánsnak nevezzük. A kifejtés során minden tagban a   kifejezést meg kell szorozni  -vel Ekkor a determináns az első sor szerinti kifejtést használva:

 


Igazolható, hogy a mátrix determinánsa bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető, az előjelváltogatást sakktábla szerint kell alkalmazni, és mindig a megfelelő elemnél vett aldeterminánst kell számolni(a sakktáblaszabály miatt volt az első sorban az előjelváltogatás):

 

Általánosan, bármely sora vagy oszlopa szerint meghatározhatjuk a mátrix determinánsát. Az  -edik sor szerinti kifejtés   A  -edik oszlop szerinti kifejtés  

Kifejtési tétel: Egy mátrix determinánsa bármely sora vagy oszlopa szerinti kifejtés esetén megegyezik.  

Példa: Legyen:

 

Ekkor det(A)=12, mivel:

 

, azaz:

 

, ahol a 3×3-as mátrixok determinánsának a kiszámítása az előző pontban már ismertetett módon történik,tehát:

 

Determinánsok Tulajdonságai

szerkesztés
  • Két azonos méretű mátrix determinánsainak szorzata egyenlő a mátrixok szorzatának determinánsával:
 , bármely   és   n×n mátrixra.
  •  , ebből következik
 , bármely   n×n mátrixra és bármely   skalárra.
  •  
  • Egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanaz a determinánsa:
 
  • Egy   mátrix determinánsa a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
    1. Sorok vagy oszlopok felcserélése a determináns −1-el való szorzását okozza.
    2. Egy sor vagy oszlop  -el való szorzása a determináns  -el való szorzását okozza.
    3. Egy sor vagy oszlop többszörösének hozzáadása egy másikhoz nem változtat a determinánson.
    4. A determináns nulla, ha a mátrix oszlopai vagy sorai lineárisan összefüggnek
    5. Ha valamelyik oszlopa vagy sora csupa nulla, akkor az előző pontból következően a determináns nulla. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a determinánst a csupa nulla sor vagy oszlop szerint kezdjük el kifejteni.

TODO