Matematika/Mátrix/Inverz

Egy n-szer n-es A mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha létezik egy olyan B mátrix, melyre igaz: AB = I_n ( = BA). Ebben az esetben a B mátrix az A mátrix inverz mátrixa és A⁻¹-al jelölik.

Invertálható mátrixok tulajdonságai

Egy $A$ n × n mátrixra a következő kijelentések egyenértékűek:

• $A$ invertálható.
• det $A$ ≠ 0.
• rang $A$ = n.
• Az $Ax=0$ egyenletnek csak a triviális megoldása létezik: $x=0$
• Létezik egy $B$ n × n mátrix ú.h. $AB=I_{n}$.
• $A^{T}$ invertálható.
• $A^{T}\times A$ invertálható.

Egy $A$ invertálható mátrix inverze is invertálható,

$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$.

Két azonos méretű $A$ és $B$ invertálható mátrix szorzatának inverze is invertálható, és fennáll a következő egyenlőség:

$\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

(a faktorok sorrendje felcserélődik)

Számítás

Egy mátrix inverzét a következő módon lehet kiszámolni:

$A^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\left(C_{ji}\right)={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{j1}\\C_{12}&\ddots &&C_{j2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\C_{1i}&\cdots &\cdots &C_{ji}\\\end{pmatrix}}$

Ahol:

• |A| az A mátrix determinánsa
• C_ij az A mínusz az i-edik sor és a j-edik oszlop által képzett mátrix determinánsa megszorozva (-1)^i+j -nel
• A^T a mátrix transzponáltja (A^T_ij = A_ji).

Példa

TODO^^