Matematika/Mátrix/Műveletek

Műveletek mátrixokkal

Összeadás

Legyen A és B két m-szer n méretű mátrix, A + B összegük úgy képződik, hogy a megfelelő elemeket összegezzük (vagyis (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Például:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Skalárral való szorzás

Adott az A mátrix egy c skalárral való cA szorzatát úgy számítjuk, hogy a c számmal A minden elemét megszorozzuk (vagyis (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Például:

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Mátrixszorzás

Két mátrix szorzata akkor definiált, ha a baloldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobboldali mátrix sorainak számával. Ha A egy m-szer n mátrix és B egy n-szer p mátrix, mátrixszorzatuk egy m-szer p méretű (m sorból, p oszlopból álló)AB mátrix lesz, melynek elemei így számíthatók:

$(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]\!\$

minden i-re és j-re.

Például:

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\((-1)\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&((-1)\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}},$

illetve a megfelelő sort a megfelelő oszloppal történő szorzást kidomborítandó:

${\begin{matrix}&{\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\\{\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}\end{matrix}},$

ahol például az eredménymátrix 5-ös elemét úgy kaptuk, hogy a sorában lévő (1,0,2) elemeket páronként összeszoroztuk az oszlopában lévő (3,2,1) elemekkel, majd összeadtuk őket.

A mátrixszorzatnak a következő tulajdonságai vannak:

• (AB)C = A(BC) minden k-szor m méretű A mátrixra, m-szer n méretű B mátrixra és n-szer p méretű C mátrixra ("asszociativitás").
• (A + B)C = AC + BC minden m-szer n méretű A és B mátrixra valamint n-szer k méretű C mátrixra ("jobboldali disztributivitás").
• C(A + B) = CA + CB minden m-szer n méretű A és B valamint k-szor m méretű C mátrixra ("baloldali disztributivitás").

Fontos tudni, hogy a kommutativitás általában nem teljesül; vagyis adott A és B összeszorozható mátrixra általában igaz, hogy AB ≠ BA.