„Lineáris algebra/Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
61. sor:
<div style="border: solid 1px #ee0000; background: #f0e5e4; text-color: black; text-align: justify; margin: 1em; padding: 1em;">
----
<center> (segédtétel a [[#Lecserélési tétel (I.3.)|„lecserélési”]] és az [[#Összegzési tétel (I.4.)|összegzési tételhez]]) </center>
89. sor:
* Ezzel a tételt beláttuk.
1). A tétel feltételei szükségesek, hogy a benne foglalt következmények fennálljanak. Például a = b = 0 esetén nem lesz igaz a tétel, R' nem ekvivalens R-rel. Ugyanis ha R = {L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>}, és a = b = 0, akkor M = 0L<sub>1</sub>+0L<sub>2</sub> = 0+0 = 0, értsd akkor M a <math> 0\mathbf{x}_{1} + 0\mathbf{x}_{2} + ... + 0\mathbf{x}_{n} = 0 </math> egyenlettté változik. De ennek minden valós szám-n-es megoldása, <math> \mathcal{M} \left( M \right) = \mathbb{R}^{n} </math>. Ekkor pedig, mivel <math> \mathcal{M} \left( L_{2} \right) \subseteq \mathbb{R}^{n} = \mathcal{M} \left( M \right) </math> , úgy <math> \mathcal{M} \left( R' \right) = \mathcal{M} \left( M \right) \cap \mathcal{M} \left( L_{2} \right) = \mathbb{R}^{n} \cap \mathcal{M} \left( L_{2} \right) = \mathcal{M} \left( L_{2} \right) </math> (mivel egy halmaznak és részhalmazának metszete maga az illető részhalmaz). Tehát R' és az {L<sub>2</sub>} egyenletrendszer gyökei ugyanazok. Azonban általában R gyökei nem ugyanazok, mint {L<sub>2</sub>} gyökei, tehát ebben az esetben a két egyenletrendszer nem lehet ekvivalens, és így a tétel sem teljesül. Például az
* <center> <math> R : \begin{cases} \ \ \mathbf{x}_{1} + \mathbf{x}_{2} = 2 \ ; \\ \ \ 2\mathbf{x}_{1}+\mathbf{x}_{2} = 2 \ ; \end{cases} </math> </center> <br>
107. sor:
<div style="border: solid 1px #ee0000; background: #f0e5e4; text-color: black; text-align: justify; margin: 1em; padding: 1em;">
----
Ha <math> R = \left( L_{1} , L_{2} \right) </math> egy kéttagú (lineáris) n-ismeretlenes egyenletrendszer, és <math> M \sim L_{1} , N \sim L_{2} </math> ; továbbá <math> a, b \in \mathbb{R}</math> tetszőleges, nem mind nulla valós számok, akkor a≠0 esetén az <math> S' = \left( aM+bN, N \right) </math> egyenletrendszer, és b≠0 esetén a <math> S* = \left( M, aM+bN \right) </math> egyenletrendszer ekvivalensek <math> R </math>-rel, azaz <math> S' \sim R \sim S* </math> .
121. sor:
<div style="border: solid 1px #ee0000; background: #f0e5e4; text-color: black; text-align: justify; margin: 1em; padding: 1em;">
----
Legyen n,k∈ℕ<sup>+</sup> , és R = {L<sub>1<sub>, L<sub>2</sub>, ... , L<sub>k</sub>} egy a valós (komplex) számok körében értelmezett lineáris n-ismeretlenes egyenletrendszer. Ekkor tetszőleges a<sub>1</sub> , a<sub>2</sub> , ... , a<sub>k</sub> nem mind nulla(!) valós (komplex) számok esetén ha az M<sub>i</sub> nem nullváltozós egyenletre <center> M<sub>i</sub> = a<sub>1</sub>L<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>L<sub>2</sub> + ... + a<sub>k</sub>L<sub>k</sub> </center> (i∈{1,2,...,k}) és rögzített i esetén a<sub>i</sub> ≠ 0 teljesül, akkor az <center> R'<sub>i</sub> = (L<sub>2</sub>, L<sub>2</sub> , ..., L<sub>i-1</sub> , M<sub>i</sub> , L<sub>i+1</sub> , ... , L<sub>k</sub>) </center>
| |||