„Lineáris algebra/Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
54. sor:
Világos, hogy '''ha egy egyenletrendszer egyik egyenletén ekvivalens átalakítást végzünk, akkor az az egyenletrendszeren is ekvivalens átalakítás'''. Azaz ami a rendszer egy tagjának gyökein nem változtat, az maga a rendszer gyökein sem változtat. Hiszen ha az F egyenletet a G-be alakítjuk, és G gyökei ugyanazok, mint F gyökei (és más átalakítást nem végzünk), akkor az egyenletrendszer gyökei halmaza úgy keletkezik, hogy a többi egyenlet megoldáshalmazainak és G megoldáshalmazának metszetét képezzük. De ha ez bővebb lenne, akkor új megoldás csak G megoldásai szerepelhet, mivel más nem változott, de mivel G és F megoldásai ugyanazok, ez már F megoldásai közt is szerepelne. Ha pedig szűkebb lenne, akkor a régi rendszer v.mely megoldása nem megoldása G-nek, de akkor F-nek sem (mert ha az lenne, G-nek is megoldása lenne, hisz ezek megoldásai ugyanazok), ami szerint ez a megoldás a régi rendszernek sem megoldása, hiszen akkor F-nek is megoldása kellene hogy legyen.
Ugyanakkor egy egyenletrendszeren végezhetőek egyéb ekvivalens átalakítások is. Pl. nyilvánvaló, hogy két egyenlet felcserélése megváltoztatja a rendszert (ne feledjük: a ''[[w:hu:Elemrendszer|rendszer]]'' vagy sorozat egy rendezett objektum, tehát mibenléte igazából függ az elemek, azaz egyenletek sorrendjétől!)
Az első ekvivalens algebrai átalakítás, ami egy darab egyenletre nem értelmezhető, az két egyenlet összeadása vagy egyiknek a másikból való kivonása. Ez is ekvivalens átalakítás: ha R = ( L<sub>1</sub> , L<sub>2</sub> ) egy kéttagú (lineáris) egyenletrendszer, akkor az R' = ( L<sub>1</sub>+L<sub>2</sub> , L<sub>2</sub> ) és az R* = ( L<sub>1</sub> , L<sub>1</sub>+L<sub>2</sub> egyenletrendszerek ezzel ekvivalensek: R' ~ R ~ R* (ezt rögtön bebizonyítjuk). Sőt az I.1. tétel 2. pontja (~ tranzitivitása) miatt két ekvivalens átalakítás egymásutánja, kompozíciója is ekvivalens átalakítás, úgyhogy például egy egyenlet nem nulla számmal többszörözése és azután a másikhoz adása is ekvivalens. Sőt mindkét egyenlet nem nulla számmal többszörözése és aztán összeadása, az is gyöktartó átalakítás. Ennél azonban többet is mondhatunk: ha az egyik egyenletet nullával szorozzuk, de a másikat nem, és így adjuk össze őket, az olyan, mintha csak az egyik egyenletet alakítanánk át (pl. 0L<sub>1</sub>+3L<sub>2</sub> = 3L<sub>2</sub>). Tehát a kétféle ekvivalens átalakítás, összeadás és számmal szorzás tárgyalható egységesen is, mint nem mind nulla számokkal való szorzatok (kombinációk) összeadása.
| |||