„Lineáris algebra/Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
56. sor:
Ugyanakkor egy egyenletrendszeren végezhetőek egyéb ekvivalens átalakítások is. Pl. nyilvánvaló, hogy két egyenlet felcserélése megváltoztatja a rendszert (ne feledjük: a ''[[w:hu:Elemrendszer|rendszer]]'' vagy sorozat egy rendezett objektum, tehát mibenléte igazából függ az elemek, azaz egyenletek sorrendjétől!), de a gyökök halmazát nem, mivel az egyes egyenletek gyökei halmazai ugyanazok maradnak, és ezért a metszetük is (ez az állítás tehát a metszet halmazművelet kommutativitása miatt igaz). Tehát egyenletek sorrendjének csereberéje ekvivalens átalakítás.
Az első ekvivalens algebrai átalakítás, ami egy darab egyenletre nem értelmezhető, az két egyenlet összeadása vagy egyiknek a másikból való kivonása. Ez is ekvivalens átalakítás: ha R = ( L<sub>1</sub> , L<sub>2</sub> ) egy kéttagú (lineáris) egyenletrendszer, akkor az R' = ( L<sub>1</sub>+L<sub>2</sub> , L<sub>2</sub> ) és az R* = ( L<sub>1</sub> , L<sub>1</sub>+L<sub>2</sub> egyenletrendszerek ezzel ekvivalensek: R' ~ R ~ R* (ezt [[Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai#Tétel (I.2.)|rögtön]] bebizonyítjuk). Sőt az I.1. tétel 2. pontja (~ tranzitivitása) miatt két ekvivalens átalakítás egymásutánja, kompozíciója is ekvivalens átalakítás, úgyhogy például egy egyenlet nem nulla számmal többszörözése és azután a másikhoz adása is ekvivalens. Sőt mindkét egyenlet nem nulla számmal többszörözése és aztán összeadása, az is gyöktartó átalakítás. Ennél azonban többet is mondhatunk: ha az egyik egyenletet nullával szorozzuk, de a másikat nem, és így adjuk össze őket, az olyan, mintha csak az egyik egyenletet alakítanánk át (pl. 0L<sub>1</sub>+3L<sub>2</sub> = 3L<sub>2</sub>). Tehát a kétféle ekvivalens átalakítás, összeadás és számmal szorzás tárgyalható egységesen is, mint nem mind nulla számokkal való szorzatok (kombinációk) összeadása.
<br>
<div style="border: solid 1px #ee0000; background: #f0e5e4; text-color: black; text-align: justify; margin: 1em; padding: 1em;">
| |||