Gubbubu

[[en:User:Gubbubu]]
 
== BizonyításBizonyítások ==
 
=== Elemi algebrai eszközökre épülő bizonyítás ===
 
Legyenek a háromszög csúcsai a szokásos módon A,B,C, a szenmközti oldalak a,b,c, T a c ponthoz tartozó m magasság talppontja! A magasság az ABC háromszöget két részháromszögre bontja, ezek az ATC és BTC derékszögű háromszögek. Legyen az AT távolság AT=x, ekkor TB=AB-AT=c-x. Felírva a két derékszögű háromszögre Pitagorasz tételét,
Ismertnek tételezve az a,b,c mennyiségeket, a fenti egyenletrendszer egy algebrai, másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer. Ezt a következő módon kényelmesen meg lehet oldani: fejezzük ki az első egyenletből az m<sup>2</sup> mennyiséget, és helyettesítsük be a második egyenletbe:
 
:: <math> m^{2} = b^{2} - x^{2}</math> (*)
:: <math> (c-x)^{2}+ \left( b^{2} - x^{2} \right) = a^{2}</math>
 
A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó [[Elemi algebra#Nevezetes szorzatok|nevezetes azonosságot]],
 
:: <math>c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math>
 
Az ellenkező előjellel szereplő x^{2}-es tagok kiejtik egymást, marad:
 
:: <math> c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math>
 
Ebben az első ránézésre másodfokú egyenletben már csak egy ismeretlen szerepel, az x. Mivel ez egyetlen helyen fordul elő az egyenletben, és csak az első hatványon, a fönti egyenlet szerencsés módon valójában elsőfokú, ennélfogva az x ismeretlen mennyiség könnyedén kifejezhető, részint egy átrendezés,
 
:: <math> -a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2cx </math>
 
részint 2c-vel való osztás után:
 
:: <math> x = \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} </math>
 
Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába:
 
:: <math> m^{2} </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> b^{2} - \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { 2c \cdot b^{2} } {2c} - \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} </math>