Gubbubu

:: <math> (c-x)^{2}+ \left( b^{2} - x^{2} \right) = a^{2}</math>
 
A második egyenletben alkalmazva a két tag különbségére vonatkozó [[Elemi algebra#Nevezetes szorzatok|nevezetes azonosságot]], nevezetesen, hogy akármilyen A,B valós számokra <math>(A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}</math>, ennélfogva az A := c és B := x háromszög-oldalhosszakra <math>(c-x)^{2} = c^{2} -2cx + x^{2} </math>;
 
:: <math>c^{2} - 2cx + x^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2}</math>
Visszahelyettesítve ezt az első egyenlet (*)-gal megjelölt formájába:
 
:: <math> m^{2} </math> &nbsp; <math> = </math> <math> b^{2}-x^{2} </math> <math> = </math> &nbsp; <math> b^{2} - \left( \frac{ -a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2c} \right) ^{2} </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> b^{2} - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} }{ \left( 2c \right) ^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> b^{2} - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} }{ 4c^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> <br> <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { 4c^{2} \cdot b^{2} } { 4c^{2} } - \frac{ \left( -a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) ^{2} } { 4c^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { 4b^{2} c^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { 4c^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { \left( 2bc \right) ^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <br> <math> = </math> <math> \frac { \left( 2bc \right) ^{2} - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) ^{2} } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> &nbsp; <math> = X </math>.
 
Alkalmazva az <math> A^{2} - B^{2} = \left( A+B \right) \left( A-B \right) </math> &nbsp; „nevezetes azonosságot” az <math> A = 2bc </math> és <math>B = -a^{2}+b^{2}+c^{2} </math> esetekre;
 
:: <math>X m^{2} </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { \left[ \left( 2bc \right) + \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) \right] \left[ \left( 2bc \right) - \left( -a^{2}+b^{2}+c^{2} \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { \left( -a^{2}+b^{2}+2bc+c^{2} \right) \left( 2bc + a^{2}-b^{2}-c^{2} \right) } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> <br> <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { \left( -a^{2}+b^{2}+2bc+c^{2} \right) \left( a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2} \right) } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> <math> \frac { \left[ -a^{2} + \left( b+c \right)^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b^{2} -2bc + c^{2} \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> <br> <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { \left[ -a^{2} + \left( b+c \right)^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b-c \right) ^{2} \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> &nbsp; <math> = </math> &nbsp; <math> \frac { \left[ \left( b+c \right)^{2} -a^{2} \right] \left[ a^{2}- \left( b-c \right) ^{2} \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math> .
 
Az utolsó két átalakításnál a két tag összegének négyzetére vonatkozó <math> B^{2}+2BC+C^{2} \ = \ \left( B+C \right) ^{2} </math>, szintén nevezetes azonosságot alkalmaztuk (az egyik zárójelen belül), illetve egy harmadikat, a két tag különbségére vonatkozót, amely a következőképp fest: <math> B^{2}-2BC+C^{2} \ = \ \left( B-C \right) ^{2} </math>.
 
Megint csak a már említett <math> A^{2} - B^{2} \ = \ \left( A+B \right) \left( A-B \right) </math> azonosságot alkalmazva a fentebbi kifejezés szögletes zárójelbe rakott részkifejezéseire (az első esetében az <math> A \ := \ \left( b+c \right) </math> &nbsp; és <math> B \ := \ a </math>; míg a második esetében az <math>A \ := \ a </math> és <math> B \ := \ \left( b-c \right) </math> helyettesítésekkel):
 
:: <math> m^{2} </math> <math> = </math> <math> \frac { \left[ \left( b+c+a \right) \left( b+c-a \right) \right] \cdot \left[ \left( a+(b-c) \right) \left( a-(b-c) \right) \right] } { \left( 2c \right) ^{2} } </math>