„Lineáris algebra/Permutáló mátrixok” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
146. sor:
# „Szemléletesen” mondva, a következő: A BA i-edik sora úgy áll elő, hogy a B i-edik sorának elemeit kombináljuk az A oszlopaival. Az i-edik sor minden eleme nulla, kivéve egyet, ez legyen a k-adik. Ha az A j-edik oszlopa olyan, hogy abban nem a k-adik elem az 1, akkor a sor-oszlop kombináció értéke 0 lesz. De van egy és csak egy oszlop, mondjuk a h-adik, amelyben a k-adik elem nulla, és ekkor a kombináció értéke 1 lesz, vagyis a szorzatmátrix i-edik sorában pontosan a h-adik elem lesz 1, a többi nulla. Hogy ilyen oszlop pontosan egy van az A mátrixban, azt a következőképp láthatjuk be: i) ha nem lenne, akkor az A oszlopainak k-adik elemei, aza a k-adik sor elemei mind nullák lennének, de hisz ez ellentmond a permutáló mátrix definíciójának, miszerint a k-adik sorban van egy 1-es. Mégpedig pontosan egy darab 1-es van, azaz 1 olyan oszlop van, mely k-adik eleme 1-es, hisz különben a k-adik sorban két elem is 1 lenne, ellentmondva a permutáló mátrix definíciójának. Arra jutottunk tehát, hogy a BA mátrix minden sora csupa nulla, egyetlen 1 elemet kivéve. Hasonlóan bizonyítható, hogy minden oszlop is csupa nulla, egyetlen 1 elemet leszámítva.
# Precíz bizonyítás adható a szumma-jelöléssel:
## Legyenek A,B tetszőleges n×n-es permutáló mátrixok, melyeknek főindexalakja <math> A \ := \ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{pmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} f_{A}(1) \\ f_{A}(2) \\ ... \\ f_{A}(n) \end{bmatrix} \ = \ \left[ f_{A}(
## Ekkor <math> (ab)_{i,j} \ = \ \sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j} \ = \sum_{ k \in \mathbb{N}_{n}- \left\{ f_{A}(i) \right\} } a_{i,k}b_{k,j}+\sum_{ k = f_{A}(i)} a_{i,k}b_{k,j} \ = \ </math> <math> \ = \sum_{ k \in \mathbb{N}_{n}- \left\{ f_{A}(i) \right\} } 0b_{k,j}+a_{i,f_{A}(i)}b_{f(i),j} \ = </math> <br> <math> = \ 0 \left( \sum_{ k \in \mathbb{N}_{n}- \left\{ f_{A}(i) \right\} } b_{k,j} \right) + 1b_{f_{A}(i),j} \ = \ 0+b_{f_{A}(i),j} \ = </math> <br> <math> = \ b_{f_{A}(i),j} \ = \ \begin{cases} 0 \ \mbox{ha} \ j=f_{B}(f_{A}(i)) \\ 1 \ \mbox{ha} \ j \ne f_{B}(f_{A}(i)) \end{cases} </math>.
## Ez pontosan azt jelenti, hogy adott i (sorindex)re, a szorzatmátrix e sorának minden (j-edik) eleme a b-nek az f<sub>A</sub>(i)-edik sorából való (a j-edik oszlopból), tehát (amit eddig is tudtunk) a szorzás a B f<sub>A</sub>(i)-edik sorát helyezi a szorzatmátrix i-edik sorába; ami az átrendezési törvényhez képest újdonság, hogy most a B mátrixról is tudjuk, hogy permutáló, azaz az f<sub>A</sub>(i)-edik sorában (a szorzatmátrix i-edik sora) pontosan egy eleme 1 (az f<sub>B</sub>(f<sub>A</sub>(i))-edik oszlopban), a többi elem 0. Ergo AB minden sora mindenhol nulla, kivéve egyetlen 1 értéket.
| |||