„Lineáris algebra/Permutáló mátrixok” változatai közötti eltérés

## Permutáló mátrixnak van jobbinverze, és az is p.m. Legyen <math> P \ = \ \begin{pmatrix} p_{1,1} & p_{1,2} & ... & p_{1,n} \\ p_{2,1} & p_{2,2} & ... & p_{2,n} \\ ... & ... & ... & ... \\ p_{n,1} & p_{n,2} & ... & p_{n,n} \end{pmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} f_{P}(1) \\ f_{P}(2) \\ ... \\ f_{P}(n) \end{bmatrix} </math>, és keressük azt az X n×n-es mátrixot, amelyre teljesül PX = E_n. Ha van ilyen <math> X \ = \ \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & ... & x_{1,n} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & ... & x_{2,n} \\ ... & ... & ... & ... \\ x_{n,1} & x_{n,2} & ... & x_{n,n} \end{pmatrix} </math> mátrix, akkor az [[#Az átrendezési törvények|átrendezési tétel]] következményeként kapott [[#A szorzási tétel|szorzási tétel]]t alkalmazva, érvényes, hogy <math> (px)_{i,j} \ = \ x_{f_{P}(i),j} \ = \ \begin{cases} 0 \ \mbox{ha} \ j=f_{X}(f_{P}(i)) \\ 1 \ \mbox{ha} \ j \ne f_{X}(f_{P}(i)) \end{cases} </math>. A(z jobb)inverz definíciója szerint ennek az n×n-es egységmátrixnak kell lennie, azaz <math> (px)_{i,j} \ = \ x_{f_{P}(i),j} \ = \ \begin{cases} 0 \ \mbox{ha} \ j=f_{X}(f_{P}(i)) \\ 1 \ \mbox{ha} \ j \ne f_{X}(f_{P}(i)) \end{cases} \ = </math> <math> = \ e_{i,j} \ = \ \begin{cases} 0 \ \mbox{ha} \ j \ne i \\ 1 \ \mbox{ha} \ j = i \end{cases} </math>. Ennélfogva, felhasználva, hogy az f leképezés permutációja az értelmezési tartományának, írható <math> x_{i,j} \ = \ e_{f_{P}^{-1}(i),j} </math>, ami azt jelenti, az X mátrix minden sora az egységmátrix egy adott sora, és minden oszlopa az egyságmátrix valamely oszlopa, vagyis X minden sorában és minden oszlopában is pontosan 1-1 elem egyenlő 1-gyel, a többi elem nulla; s így X p.m. (látható, hogy a sor-oszlop kettős indexek használatán kívül, e „formális” bizonyítás nem jelent sok újdonságot a „szemléletes”-hez képest).