„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
41. sor:
==== A reguláris halmazok valódi osztályt alkotnak ====
'''Russell regularitási tétele''': legyen <big>''R''</big><sub>h</sub> azon halmazok osztálya, melyek nem tartalmazzák elemként önmagukat. Ez az osztály, az ún. szűkebb értelemben vett '''[[Halmazelmélet/Alapfogalmak#A gyenge regularitás axiómája|Russell-osztály]]''' - ha létezik (márpedig létezik) - nem halmaz, tehát valódi osztály <ref>Azért szűkebb értelemben vett, mert az egyedek nem tartoznak bele, a tágabb értelemben vett Russell-osztály ennek meg az egyedek osztályának az egyesítése. Létezése az erős részhalmaz-axiómából következik.</ref>.
Bizonyítás: tegyük fel, hogy az
<center> <big>''R''</big><sub>h</sub> := {x | x∉x ∧ ∃y:(x∈y)} = {x∈<big>''H''</big>|x∉x}</center>
osztály létezik, és halmaz! Felmerül a kérdés, eleme-e <big>''R''</big><sub>h</sub>-nek (önmagának) vagy sem (az egyértelmű meghatározottság axiómája miatt, vagy igen, vagy nem). Ha eleme <big>''R''</big><sub>h</sub>-nek (azaz önmagának), akkor (ahogy fentebb már láttuk) olyan halmaz, ami nem eleme önmagának (azaz <big>''R''</big><sub>h</sub>-nek), ez ellentmondás, tehát <big>''R''</big><sub>h</sub> nem eleme <big>''R''</big><sub>h</sub>-nek/önmagának. Ha meg nem eleme <big>''R''</big>-nek, akkor nem igaz, hogy nem eleme önmagának, tehát igaz, hogy eleme önmagának (<big>''R''</big><sub>h</sub>-nek). Ez is ellentmondás. Tehát ha <big>''R''</big><sub>h</sub> létezik, nem halmaz. Q.E.D.
==== Az ellentmondástalanság elemzése ====
| |||