„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei” változatai közötti eltérés

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ∀x:x∉x. Ekkor <big>''R''</big>_h azon halmazokat tartalmazza, melyek nem elemei önmaguknak, vagyis mindet. Tehát <big>''R''</big>_h = <big>''H''</big> := {x | ∃y:(x∈y)}. Russell első tétele szerint <big>''R''</big>_h nem halmaz, hanem valódi osztály. Q.E.D.

Most persze megint megvizsgáljuk, hogyhogy nem kaptunk paradoxont. A második Russell-paradoxon első következtetése megállapítja, hogy <big>''R''</big>_h=<big>''UH''</big>, ez most is igaz. A második megállapítása szerint aza <big>''UH''</big> osztály nem tartalmazza magát elemként. Persze, hogy nem, ha egyszer valódi osztály, akkor egyetlen osztály sem tartalmazhatja elemként, így önmaga sem. A harmadik megállapítás szerint: <big>''UH''</big> nem halmaz. Szerintünk sem, hisz valódi osztály. A negyedik megállapítás szerint, <big>''R''</big>_h nem létezik. Na ez az, amit az NBG szerint másképp is gondolhatunk. Russell gondja az volt, hogy nincs másféle sokaság, csak halmaz, ezért <big>''UH''</big>-nak önmagát tartalmaznia kell. A NBG-elmélet ezt gondolja másként. Ha <big>''UH''</big> nem halmaz, hanem osztály, akkor nem kell magát tartalmaznia, csak a halmazokat. Az osztály fogalmának bevezetése, azaz a sokaságok sokaságának bővítése felmenti <big>''UH''</big>-t az önmagát tartalmazás kényszere alól. Hasonló érvényes <big>''R''</big> és <big>''U''</big> viszonyának esetében.