„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei” változatai közötti eltérés

## Az osztályelmélet tulajdonképpen maga sem más, mint egy részlegesen tipizált halmazelmélet, vagyis valójában Russell gondolata tér vissza logikai helyett sokaságelméleti köntösben. Az „osztály” és a „halmaz” pontosan olyan viszonyban vannak, mint a „harmadik típusú” és „második típusú” kijelentések. Az individuumok, ha létezésüket elismerjük, az első típusú objektumok; az individuumokról szóló kijelentések a második típusú avagy elsőrendű kijelentések; ezek igazsághalmazai a halmazok, második típusú sokaságok. A halmazokról való kijelentések - pl. hogy „egy halmaz reguláris” - már egy új típusba tartoznak, a másodrendű kijelentések csoportjába, igazsághalmazaik a harmadik típusú sokaságok, azaz az osztályok. És így tovább. Definiálhatnánk a '''hiperosztály'''ok, a hiper-hiperosztályok s.í.t. fogalmát, és minden szinten megfogalmazható lenne a Russell-antinómia úgy, hogy szükség legyen a következő szintű sokaságok létezésének feltételezésére. Látható, hogy a komprehenzivitási elvet nem kell félretenni, ha a tipizálást ténylegesen megvalósítjuk, végigvisszük. Ezt mi nem tesszük, mert minket a (hiper)osztályelmélet felépítése nem érdekel, megelégszünk egyik részletével, a halmazelmélettel. Ezért mesterségesen elvágtuk valahol a russelli „hierarchia-kumulálást”, félretéve a komprehenzivitási elvet; arra hivatkozva, hogy axiómáink hatóköre itt véget ér. De az osztályelmélet bármikor lehetőséget biztosít rá, hogy ezt ne tegyük. Tehát látjuk: nem is igaz egészen az, hogy az antinómia fel nem léptét a komprehenzivitási elv félretétele okozza, és az osztály fogalmának semmi szerepe nincs a paradoxon megoldásában. Valami azért van, és bármikor lehet több is. Minél magasabb szinten (minél később) tesszük félre a komprehenzivitási elvet, annál több hiperosztályszintet kell bevezetnünk; azaz minél komprehenzívebb az elméletünk, annál inkább hierarchizált kell legyen. Az antinómia végleges megoldásában az inkomprehenzivitás mértéke és a hierarchia-kumulálás szükséges mennyisége egyfajta sajátos fordított arányosságot mutat. Már csak azért is sajátosat, mert az arányossági tényező alef null, és megengedett bármelyik tényező 0 értéke, ez esetben a másiké végtelen.

## Az NBG-elméletet az teszi vonzóvá, hogy a fenti értelemben van [[w:hu:ontológia|ontológiája]]; azaz keretében a „halmaz” szónak van valami megfogható értelme; igaz; ez a formalista matematikusok szerint hátrány. Az ontológia megléte a tiszta ZFC-elméletre egyáltalán nem mondható el: tiszta formájában a ZFC-elmélet nem más, mint értelmetlen szimbólumok rendszere. Az eredeti ZFC keretében például még az sem fogalmazható meg, hogy egy objektum - halmaz. Ha a komprehenzivitási elvet feladjuk, és áttérünk a halmazelméleti konstrukciók axiomatikus korlátozására; de ragaszkodunk ahhoz, hogy a halmaz fogalmának értelme is legyen, és egy halmaz több legyen, mint a ∅ szimbólumból a {}, és ∪ stb. szimbólumok segítségével definiálható véges sorozatok egyik tagja, akkor szükséges valami keretfogalom, és erre pont megfelel az „osztály”. A modern szakmunkák- így Hajnal és Hamburger könyve is (ami pedig nagyjából a ZFC axiómáira alapoz), de Maurer és Komjáth művei szintúgy - vagy előbb, vagy utóbb lényegében kénytelenek hivatkozni a valódi osztályokra. Méltán: mai tudásunk szerint enélkül nem lehetséges a halmazelmélet didaktikus tárgyalása.

 

A ZFC elfogadása, a Russelli tipizálás, illetve a jelen munkában alkalmazott NBG-féle „félmegoldás” mellett; van egy negyedik lehetőség is: az „eleme” reláció és a meghatározottsági axióma módosítása: osztályokra ne legyen feltétlenül érvényes a meghatározottsági axióma. Ám ekkor az egyenlőségi axióma is megkérdőjeleződik. Ha nem tudjuk, hogy egy osztálynak valami eleme vagy nem eleme, akkor igaz maradhat-e, hogy egy halmazt meghatároznak az elemei? Ha kétséges, hogy egy halmaznak mik az elemei, nemkülönben az is kétségessé válik, hogy a halmaz milyen más halmazokkal egyenlő, hiszen ezt akkor dönthetnénk el, ha pontosan ismernénk, ugyanazok az elemeik vagy nem - de ha nem tudjuk, mik az elemek, azt sem tudhatjuk, ugyanazok-e. Az egyenlőségi axióma feladása pedig lényegében a Cantori, extenzionális halmazelmélet feladását jelenti: túl sok problémát vet fel. Mindenesetre a fuzzy halmazelmélettel való kísérletek megmutatták, hogy ez az út sem lehetetlen. Az extenzionalitás megtagadása lehetséges a fuzzy jelleg elfogadása nélkül is, erre példa [[w:hu:Kőnig Gyula|Kőnig Gyula]] halmazelmélete. Kőnig lényegében az [[Halmazelmélet/Alapok#Halmazelmélet|intenzionális definíciójukkal]] azonosította a halmazokat, azok extenziója, az elemek sokasága helyett; ezáltal az egyértelmű meghatározottság axiómája javarészt megmarad (nem úgy, mint a fuzzy halmazelméletben), de az egyenlőségi axiómát persze meg kell tagadni <ref>[[w:hu:Kőnig Gyula|Kőnig Gyula]]: ''Neue Grundlagen der Logik, Arithmetik und Mengenlehre''. Leipzig, 1914., 211-214. o.</ref>.