„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Részhalmazok” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
66. sor:
Informálisan a következőképp szokás ezt bizonyítani: az üreshalmaznak nincs eleme, ezért minden eleme eleme A-nak. Tudniillik, ha nem részhalmaza, az azt jelenti, hogy nem minden eleme eleme az A-nak, ami meg mi mást jelenthet: van olyan eleme, ami az A-nak nem eleme. Ilyen nem lehet, hisz üres. Tehát Q.E.D.
== Hatványosztály ==
=== Definíció ===
Definíció: Az A osztály részosztályai osztályát, ha létezik, az A osztály '''hatványosztály'''ának nevezzük és P(A)-val jelöljük. Ha ez halmaz, akkor az A '''hatványhalmaz'''ról beszélünk. Formulával:
<center>P(A) := {x|x⊆A}</center>
avagy
<center>P(A) := {x | x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y∈x:(y∈A)}</center>
P a latin „potentia” = ”hatvány” szó kezdőbetűjére utal. Az elnevezés kombinatorikai, azaz számosságelméleti eredetű (ld. [[a számosságokról szóló fejezetet]]).
Tétel: A P(A) osztály két fenti definíciója ekvivalens.
Bizonyítás: Tekintsük az {x|x⊆A} osztályt, ha ez létezik, ekkor egyik eleme sem egyed (⊆ definíciója ezt kizárja), és a részhalmazság definíciója alapján, minden x elemének minden eleme eleme A-nak, azaz {x|x⊆A}⊆{x | x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y∈x:(y∈A)}. Fordítva, tekintsük az {x | x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y∈x:(y∈A)} osztályt, ha létezik, ennek minden eleme vagy osztály, vagy egyed, de nem egyed, tehát osztály; tehát olyan osztály, amelynek minden eleme eleme az A osztálynak, azaz minden eleme részhalmaza A-nak, azaz {x | x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y∈x:(y∈A)}⊆{x|x⊆A}. Az ⊆ [[#Az antiszimmetria-kritérium|antiszimmetriája]] miatt, a két osztály egyenlő. Q.E.D.
Nagyon is indokolt a fenti definícióban a „ha létezik” óvatoskodó kikötés. Ugyanis:
Tétel: Csak halmazoknak lehet hatványosztálya. Valódi osztályoknak nincs hatványosztálya.
Bizonyítás: Egyszerű. Ugyanis tetszőleges osztályra A⊆A, hiszen ⊆ „[[# alaptulajdonságai|relfexív]]” tulajdonságú. Ezért A∈P(A) is teljesül. Ám ha A valódi osztály, nem létezhet olyan osztály, ami elemként tartalmazza. Tehát ha A valódi osztály, P(A) nem osztály <ref>Ez az észrevétel is fontos az axiomatizálás szempontjából, ld. a [[#A hatványhalmaz-axiómáról|megjegyzéseket]].</ref>.
=== A hatványhalmaz-axióma ===
Azt már tudjuk, hogy hatványosztálya csak nemvalódi osztályoknak, azaz halmazoknak létezhet. Azt azonban honnan tudnánk, hogy tényleg létezik? Szükséges kimondani tehát a következő axiómát:
:(A9) '''A hatványhalmaz-axióma'''. Tetszőleges halmaznak létezik hatványosztálya, vagyis részosztályai is egy osztályt alkotnak. (Gy6) Ez az osztály halmaz.
Erre az axiómára a megszámlálhatónál nagyobb számosságú végtelen halmazok létezésének bizonyításához mindenképp szükség van; ráadásul a hatványhalmaz-axióma nem következik az ún. [[részosztály-axiómából]] a „majoránshalmaz” hiánya miatt. Ugyanakkor, ha elfogadjuk az univerzális osztály létezését, akkor az „ez az osztály halmaz” kikötés felesleges; ugyanis az axióma ezen része a részosztály-axióma segítségével bizonyítható. Tehát tétel, hogy halmaz hatványosztálya maga is halmaz (azonban a részhalmaz-axióma megfogalmazása annyira eszközigényes, hogy ezt a tételt nagyon későre kellene halasztanunk).
=== A részhalmaz-tétel ===
Tétel: '''Egy halmaz minden részosztálya is halmaz'''.
Bizonyítás: Legyen A halmaz, ekkor létezik a P(A) hatványhalmaz; és legyen B⊆A;. Minthogy P(A)-nak eleme a B, ezért B osztályba foglalható osztály, vagyis halmaz.
== Megjegyzések ==
=== A hatványhalmaz-axiómáról ===
A [[#A hatványhalmaz-axióma|hatványhalmaz-axióma]] és az azt megelőző meggondolások egyik tanulsága: ha a komprehenzivitási elvet maradéktalanul fenntartanánk a osztályelméletben, s ebből következően létezőnek tekintjük tetszőleges osztály hatványosztályát, akkor abból logikai ellentmondásokat kapnánk (miszerint az osztályba elemként nem foglalható valódi osztályok elemei lennének saját hatványosztályuknak). Újabb példája ez annak, hogy az osztályelmélet konzisztens felépítéséhez nem elegendő pusztán az, hogy kizárjuk az öntartalmazkodó sokaságokat. A fenti tétel összehangban van azon [[Halmazelmélet/Russell tételei#Az osztályfogalom szerepe pontosabban|megelőző]] észrevételünkkel, miszerint az osztályelmélet egy részlegesen tipizált sokaságelmélet. Ezért nem meglepő, hogy a „nagyon nagy osztályok” „igen nagy” sokaságai maguk nem osztályok, és mutatja az utat az osztályelmélet „hiperosztályelméletté” való kiterjesztése felé (egy valódi osztály hatványosztálya már nem lehet osztály, hanem „sokaság”).
== Jegyzetek ==
<references/>
== Vazz ==
| |||