„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Részhalmazok” változatai közötti eltérés

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
58. sor:
=== Definíció ===
 
: Definíció: Az A osztály részosztályai osztályát, ha létezik, az A osztály '''hatványosztály'''ának nevezzük és ''P''(A)-val jelöljük. Ha ez halmaz, akkor az A '''hatványhalmaz'''ról beszélünk. Formulával:
<center>''P''(A) := {x|x⊆A}</center>
: avagy
<center>''P''(A) := {x | x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y∈x:(y∈A)}</center>
 
''P'' a latin „potentia” = ”hatvány” szó kezdőbetűjére utal. Az elnevezés kombinatorikai, azaz számosságelméleti eredetű (ld. [[a számosságokról szóló fejezetet]]).
 
Tétel: A ''P''(A) osztály két fenti definíciója ekvivalens.
 
Bizonyítás: Tekintsük az {x|x⊆A} osztályt, ha ez létezik, ekkor egyik eleme sem egyed (⊆ definíciója ezt kizárja), és a részhalmazság definíciója alapján, minden x elemének minden eleme eleme A-nak, azaz {x|x⊆A}⊆{x | x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y∈x:(y∈A)}. Fordítva, tekintsük az {x | x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y∈x:(y∈A)} osztályt, ha létezik, ennek minden eleme vagy osztály, vagy egyed, de nem egyed, tehát osztály; tehát olyan osztály, amelynek minden eleme eleme az A osztálynak, azaz minden eleme részhalmaza A-nak, azaz {x | x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y∈x:(y∈A)}⊆{x|x⊆A}. Az ⊆ [[#Az antiszimmetria-kritérium|antiszimmetriája]] miatt, a két osztály egyenlő. Q.E.D.
73. sor:
Tétel: Csak halmazoknak lehet hatványosztálya. Valódi osztályoknak nincs hatványosztálya.
 
Bizonyítás: Egyszerű. Ugyanis tetszőleges osztályra A⊆A, hiszen ⊆ „[[# alaptulajdonságai|relfexívreflexív]]” tulajdonságú. Ezért A∈P(A) is teljesül. Ám ha A valódi osztály, nem létezhet olyan osztály, ami elemként tartalmazza. Tehát ha A valódi osztály, ''P''(A) nem osztály <ref>Ez az észrevétel is fontos az axiomatizálás szempontjából, ld. a [[#A hatványhalmaz-axiómáról|megjegyzéseket]].</ref>.
 
=== A hatványhalmaz-axióma ===