„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Konnekció, operáció” változatai közötti eltérés

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
83. sor:
Igen zavaró, hogy helytakarékosság és más okok miatt az előírásból sokszor elhagyják az alap- és képtartomány feltüntetését, bár ezt mi is alkalmazni fogjuk. Ennek az a hátránya, hogy sok esetben összekeveredhet, hogy egy κ('''x''')='''y''' alakú jelsor épp az egész operációt jelöli-e, vagy csak egy konkrét elem ama operáció (κ) szerinti képét. Ezt próbáljuk azzal kivédeni, hogy ha általános (pl. definiáló) azonosságról van szó és nem az operáció valamely konkrét konstansra vagy paraméterre való alkalmazásáról, akkor megvastagítjuk a független változót (azaz amelyik a κ jel után zárójelben áll).
 
=== A "pótlási"„pótlási” axióma ===
 
Az operáció fogalmához egy erős axióma is kapcsolódik:
89. sor:
: (A11) A '''behelyettesítési axióma''' avagy '''a pótlás axiómája'''
 
Ha ƒ:A→B tetszőleges, az A osztályon értelmezett operáció, amelynek képtartománya B, és A halmaz, akkor B is halmaz.
Ha ƒ tetszőleges operáció és A olyan osztály, amelyre A⊆D(ƒ), akkor létezik az <center>ƒ[A] := {y | (∃x∈A):(ƒ(x)=y)} </center>
osztály. És a lényeg: Ha A halmaz, akkor ƒ[A] is halmaz.
 
Vagyis, ha egy halmazoperáció alaptartományának elemeit behelyettesítjük egy operáció független változójának helyébe, a kapott képelemek is halmazt alkotnak. Ezért hívják ezt behelyettesítési axiómának. Illetve, a magyar szakirodalomban nem is így hívják, hanem „a pótlás axiómájának” – ez vsz. az angol „replacement” (behelyettesítés) kifejezés hanyag fordítása <ref>Az angol „replacement” szó „pótlást” is jelent, de itt nyilvánvalóan nincs ennek értelme.</ref>.
 
A [[#Konnekció metszete|metszet]] fentebb definiált fogalma segítségével röviden azt is mondhatjuk, hogy a pótlási axióma szerint 1). egy operáció metszete valamely olyan osztályra, amelynek minden elemén értelmezve van, létező osztály; és 2). egy operáció metszete valamely halmazra mindig halmaz.
 
Mellesleg, az axióma azon követelménye, hogy az ƒ[A] létezzen, „gyenge” követelmény, azaz következik egy másik axiómából is (erős részhalmaz-axióma ill. a komprehenzivitási axióma). Az, hogy ƒ[A] halmaz legyen, ha A halmaz, viszont a többi axiómától független, erős követelmény.
 
== Példák ==