„Lineáris algebra/Lineáris egyenletrendszer ekvivalens átalakításai” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Az alsó és felső indexek nyitó kódjait bezártam. |
||
134. sor:
** Legyen először is k = 1, R = (L<sub>1</sub>) ekkor az összes egyenlet nem nulla számszorosainak összege egy egytagú összeg (mivel egy egyenlet van), tehát valamilyen M = cL<sub>1</sub> egyenlet. Az R rendszer egyenletét lecserélve tehát M-re, az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kapunk, a gyökök az egyenletek ekvivalenciája miatt ugyanazok.
** Legyen k=2. Ez esetben épp az összegzési tétel kéttagú egyenletrendszerekre vonatkozó alakját kellene bizonyítani, amit [[#Tétel (I.2.)|fentebb (ld. I.2. tétel)]] már megtettünk.
** Tegyük fel, hogy valamely k>2 esetén a 0, 1, 2, ..., k-1 tagszámú egyenletekre teljesül a bizonyítandó állítás. Ez azt jelenti, hogy ha van egy S = {L<sub>1</sub> , ... , L<sub>k-1</sub>} egyenletrendszerünk, és a<sub>1</sub> , a<sub>2</sub> , ... , a<sub>k-1</sub> ∈ ℝ-{0}, akkor N = a<sub>1</sub>L<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>L<sub>2</sub> + ... + a<sub>k-1</sub>L<sub>k-1</sub> esetén az S' = {N , L<sub>2</sub> , ... , , L<sub>k-1</sub>} egyenletrendszer és S ekvivalens. Tekintsünk tehát egy k-tagú egyenletrendszert: R = {L<sub>1</sub> , ... , L<sub>k-1</sub> , L<sub>k</sub>} . Ekkor ha N = a<sub>1</sub>L<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>L<sub>2</sub> + ... + a<sub>k-1</sub>L<sub>k-1</sub> , tekintve az R^ = {N , L<sub>2</sub> , ... , , L<sub>k-1</sub>} egyenletrendszert, az ekvivalens az R<sup><big>-</big></sup> = {L<sub>1</sub> , L<sub>2</sub> , ... , , L<sub>k-1</sub>} rendszerrel, az indukciós feltevésünk szerint. R^-hoz hozzávéve az L<sub>k-1</sub> egyenletet, az így kapott Q = {N , L<sub>2</sub> , ... , L<sub>k-1</sub> , L<sub>k</sub>} egyenletrendszer ekvivalens az R^-pal ekvivalens R<sup><big>-</big></sup> egyenletrendszerből L<sub>k</sub> hozzávételével keletkezett R = {L<sub>1</sub> , L<sub>2</sub> , ... , L<sub>k-1</sub> , L<sub>k</sub>} egyenletrendszerrel, mivel érvényes ''M''(R^) = ''M''(R<sup><big>-</big></sup>) , s ezért ''M''(Q) = ''M''(R^)∩''M''(L<sub>k</sub>) = ''M''(R<sup><big>-</big></sup>)∩''M''(L<sub>k</sub>) = ''M''(R). Most már majdnem kész vagyunk. Csak definiálnunk kell az M<sub>1</sub> := 1×N+0×L<sub>2</sub>+0×L<sub>3</sub>+...+0×L<sub>k-1</sub>+a<sub>k</sub>L<sub>k</sub> = a<sub>1</sub>L<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>L<sub>2</sub> + ... + a<sub>k-1</sub>L<sub>k-1</sub>+a<sub>k</sub>L<sub>k</sub> egyenletet, melyben az első tag együtthatója nem nulla, ezért az előző tételek miatt érvényes, ha ezzel helyettesítjük Q első egyenletét, akkor egy Q^~Q egyenletrendszert kapunk, és Q~R miatt ekkor Q^~R. Ez pedig épp az, amit szerettünk volna belátni.
* Hivatkozva arra, hogy tetszőleges i∈{1,2,...,k}-ra hasonlóan bizonyítható, hogy M<sub>i</sub> -vel helyettesítve L<sub>i</sub>-t, a kapott egyenletrendszer R-rel ekvivalens, a tételt bizonyítottnak vehetjük. Az iménti bizonyításban nem sok minden változik, csak hogy hová írunk néhány egyenletet, meg néhány index. Ha ez nem elegendő, gyakorlatként jasvasoljuk az általában is vett bizonyítás elvégzését. De ha ennek sincs elég elrettentő ereje, akkor hivatkozzunk nyugodtan arra, hogy egy egyenletrendszerben az egyenletek sorrendje felcserélhető (a megoldáshalmaz nem változik), így kicseréljük L<sub>1</sub>-et R-ben L<sub>i</sub>-re, és innentől kezdve a bizonyítás már szinte ugyanúgy folyik, mint az előbb.
| |||