„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
13. sor:
: '''Russell (első) paradoxona''': Legyen R az önmagukat elemként nem tartalmazó (reguláris) halmazok halmaza <ref>A paradoxon leírásában szándékosan mellőzött formalizmussal tehát: R := {x∈<big>''H''</big> | x∉x}. </ref>! Kérdés, R eleme-e ennek a sokaságnak (önmagának) vagy sem.
# Ha <u>R eleme R-nek</u>, akkor olyan halmaz, ami önmagát nem tartalmazza elemként, tehát nem eleme R-nek. Az „R eleme R-nek” feltevés tehát ellentmondásos és ezért hamis. Igaz ezért ennek ellenkezője, nevezetesen:
# <u>R nem eleme R-nek</u>. Ez esetben tehát nem teljesül rá az a tulajdonság, hogy önmagát nem tartalmazza elemként, tehát nem igaz, hogy „R nem eleme R-nek”, ha ez nem igaz, akkor nincs mese, „R eleme R-nek”. Az „R nem eleme R-nek” feltevésből kikövetkeztettük, hogy R eleme R-nek. Ez ismét ellentmondás, így nem igaz, hogy R nem eleme
# Összességében, nem igaz sem „R tartalmazza önmagát”, sem „R nem tartalmazza önmagát”. Ilyen nincs. Egy becsületes halmazra (osztályra) teljesül [[Halmazelmélet/Alapfogalmak#Egyed, osztály, elem(e)|az egyértelmű meghatározottság axiómája]], de R nem ilyen: R létezésének feltételezése ellentmondásra vezet. Mivel R halmazelméleti eszközökkel egyszerűen definiálható, a halmazelmélet ellentmondásos elmélet <ref>Hogy egy matematikai elmélet ellentmondásos (szakszóval: '''inkonzisztens'''), azaz benne egy állítás és annak tagadása is bizonyítható (nevezzük az ilyen állítást az elmélet ''irreguláris'' állításának), azért baj, mert könnyű belátni, hogy ekkor minden, az elméletben megfogalmazható állítás irreguláris. Azaz egy ellentmondásos elméletnek bármely mondata igaz, és annak az ellenkezője is. Az ilyen elmélet nem túl hasznos és nem is túl érdekes.</ref>.
| |||