„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
11. sor:
=== A regularitás paradoxona ===
: '''Russell (első) paradoxona''': Legyen R az önmagukat elemként nem tartalmazó (reguláris) halmazok halmaza <ref>A paradoxon leírásában szándékosan mellőzött formalizmussal tehát: R := {x∈<big>''H''</big> | x∉x}. </ref>! Kérdés, R eleme-e ennek a sokaságnak (önmagának) vagy sem.
# Ha <u>R eleme R-nek</u>, akkor olyan halmaz, ami önmagát nem tartalmazza elemként, tehát nem eleme R-nek. Az „R eleme R-nek” feltevés tehát ellentmondásos és ezért hamis. Igaz ezért ennek ellenkezője, nevezetesen:
# <u>R nem eleme R-nek</u>. Ez esetben tehát nem teljesül rá az a tulajdonság, hogy önmagát nem tartalmazza elemként, tehát nem igaz, hogy „R nem eleme R-nek”, ha ez nem igaz, akkor nincs mese, „R eleme R-nek”. Az „R nem eleme R-nek” feltevésből kikövetkeztettük, hogy R eleme R-nek. Ez ismét ellentmondás, így nem igaz, hogy R nem eleme R-nek.
# Összességében, nem igaz sem „R tartalmazza önmagát”, sem „R nem tartalmazza önmagát”. Ilyen nincs. Egy becsületes halmazra (osztályra) teljesül [[Halmazelmélet/Alapfogalmak#Egyed, osztály, elem(e)|az egyértelmű meghatározottság axiómája]], de R nem ilyen: R létezésének feltételezése ellentmondásra vezet. Mivel R
Az első - ugyan hatástalannak bizonyuló, de mégsem haszontalan - gondolat, ami a Russell-paradoxon eredeti formájának megoldására eszünkbe juthat, az, hogy az öntartalmazkodó halmazok megengedése okozza az ellentmondást. Egyáltalán, tartalmazhatja egy halmaz elemként önmagát? <ref>Ld. az ''[[Halmazelmélet/Alapok#Osztályok, amik elemei önmaguknak?|Osztályok, amik elemei önmaguknak?]]'' c. megjegyzésünket.<ref> Hiszen, ha egyetlen halmaz sem tartalmazhatja magát elemként (a gyenge regularitás axiómája), akkor nem kérdés, hogy R tartalmazza-e magát elemként vagy sem: nem tartalmazza. Tehát szóba sem jöhet az R∈R eset (1.). Sajnos, az R∉R (azaz a 2.) eset ebben az esetben is ellentmondást jelent. Ha R∉R, akkor R egy önmagát elemként nem tartalmazó halmaz, viszont R az összes ilyet tartalmazza, tehát R∈R. Nincs mese: R még a reguláris halmazelméletekben sem létezik. Ez mindenképp azt jelenti, hogy fel kell adni a komprehenzivitás elvét, tehát be kell látnunk, hogy nem létezik minden, látszólag kifogástalanul definiálható halmaz.
=== Az univerzalitás paradoxona ===
|