„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
17. sor:
# Összességében, nem igaz sem „R tartalmazza önmagát”, sem „R nem tartalmazza önmagát”. Ilyen nincs. Egy becsületes halmazra (osztályra) teljesül [[Halmazelmélet/Alapfogalmak#Egyed, osztály, elem(e)|az egyértelmű meghatározottság axiómája]], de R nem ilyen: R létezésének feltételezése ellentmondásra vezet. Mivel R halmazelméleti eszközökkel egyszerűen definiálható, a halmazelmélet ellentmondásos elmélet <ref>Hogy egy matematikai elmélet ellentmondásos (szakszóval: '''inkonzisztens'''), azaz benne egy állítás és annak tagadása is bizonyítható (nevezzük az ilyen állítást az elmélet ''irreguláris'' állításának), azért baj, mert könnyű belátni, hogy ekkor minden, az elméletben megfogalmazható állítás irreguláris. Azaz egy ellentmondásos elméletnek bármely mondata igaz, és annak az ellenkezője is. Az ilyen elmélet nem túl hasznos és nem is túl érdekes.</ref>.
Az első - ugyan hatástalannak bizonyuló, de mégsem haszontalan - gondolat, ami a Russell-paradoxon eredeti formájának megoldására eszünkbe juthat, az, hogy az öntartalmazkodó halmazok megengedése okozza az ellentmondást. Egyáltalán, tartalmazhatja egy halmaz elemként önmagát? <ref>Ld. az ''[[Halmazelmélet/Alapok#Osztályok, amik elemei önmaguknak?|Osztályok, amik elemei önmaguknak?]]'' c. megjegyzésünket.</ref> Hiszen, ha egyetlen halmaz sem tartalmazhatja magát elemként (a gyenge regularitás axiómája), akkor nem kérdés, hogy R tartalmazza-e magát elemként vagy sem: nem tartalmazza. Tehát szóba sem jöhet az R∈R eset (1.). Sajnos, az R∉R (azaz a 2.) eset ebben az esetben is ellentmondást jelent. Ha R∉R, akkor R egy önmagát elemként nem tartalmazó halmaz, viszont R az összes ilyet tartalmazza, tehát R∈R. Nincs mese: R még a reguláris halmazelméletekben sem létezik. Ez mindenképp azt jelenti, hogy fel kell adni a komprehenzivitás elvét, tehát be kell látnunk, hogy nem létezik minden, látszólag kifogástalanul definiálható halmaz.
=== Az univerzalitás paradoxona ===
Russell
: '''Russell második (avagy járulékos) paradoxona''': Tegyük fel axiómaként, hogy „egyetlen halmaz sem tartalmazza önmagát elemként”. Ebből három dolog következik:
29. sor:
# Ergo, U - azaz R - nem létezik.
Szögezzük le rögtön: nem az U nem-létezését tartjuk paradoxonnak, hanem az R-ét. Az U-ról ugyanis az axióma alapján nyilvánvaló, hogy kizárható a létezése, és nemlétezése csak a komprehenzivitási elv fenntartása mellett jelent ellentmondást. A komprehenzív halmazelméletek számára tehát a fenti paradoxon feloldhatatlan antinómiát jelent; s ez egy újabb érv a komprehenzivitás elvetése mellett. <ref>Russell e paradoxonnal egyébként azt akarta megmutatni, hogy az összes halmaz halmaza nem létezik, még a reguláris halmazelméletekben sem (sőt, mondhatni, ''pláne'' azonban nem), és így szükséges az osztályok típushierarchiába rendezés (az összes halmaz sokasága nem lehet első típusú halmaz, mint a halmazok legtöbbje, hanem második típusú halmaz. Tulajdonképp az osztályrealista halmazelméletek is erre az alapgondolatra épülnek, csak nem annyira következetesen viszik végig a tipizálást, mint Russell; ld. [[#Az osztályfogalom szerepe pontosabban|lentebb]]).</ref>
Az is fura, hogy ha kizárjuk a legtöbb gondot okozó öntartalmazkodó sokaságokat, R még akkor is nemlétező halmaz. Persze mondhatná valaki: nemlétező, na és? Ha bizonyos halmazok létezését axiómával, kikötésekkel kizárjuk, akkor nem meglepő, hogy bizonyos halmazok nem léteznek. Hol van itt ellentmondás? És ha ezt mondja, teljesen igaza van. Úgyhogy a fenti érvelés inkább csak enyhe paradoxonnak nevezhető (vagy annak sem), mint logikai antinómiának. Arra viszont rávilágít, hogy a komprehenzivitás paradigmájának részleges félretétele, a halmazelmélet tiltó axiómákkal való „kifoltozása” önmagában nem feltétlenül oldja meg megnyugtató módon az ellentmondásokat. E „paradoxon”, akár valódi antinómia, akár nem, mindenképp érdekes intő jele annak, hogy egy anti-komprehenzív halmazelméletben szükséges annak tisztázása, hogy
| |||