„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
32. sor:
Ilyen értelemben talán valóban: sehol. Mégis van néhány dolog, ami miatt a fenti anti-egzisztenciabizonyítás tanulságos számunkra:
# Az egyik maga az eredmény, amit Russell kihoz belőle. Ő e paradoxonnal - számára az volt - egyébként azt akarta megmutatni, hogy az összes halmaz halmaza nem létezik, még a reguláris halmazelméletekben sem (sőt, mondhatni, ''pláne'' azonban nem), és így szükséges az osztályok típushierarchiába
# Nemcsak az U valódi osztálysága avagy második típusúsága az érdekes, hanem az is, hogy maga a regularitás axiómája is okozhat paradoxonokat. Azt ugyanis a legtöbb, e paradoxonnal foglalkozó szerző megemlíti, hogy az ismert paradoxonok közös jellemzője az ''önreferencia'', hogy valamilyen formális nyelvi függvényt (funktort) önmagára alkalmazunk bennük. Ennek halmazokra vonatkozó megfelelője az, hogy a halmazok önmagukat elemként tartalmazhatják, vagyis irregulárisak. Ennélfogva természetesen kínálkozó gondolat, hogy az antinómiákat az irregularitás kizárásával, vagyis a regularitási axiómával oldjuk meg. Ez azonban az eddigiek szerint nem elegendő ([[egyáltalán, szükséges-e?]]. Láttuk, hogy a klasszikus Russell-antinómiát a regularitási axióna egyáltalán nem oldja meg. Sőt, a komprehenzivitás megtartása mellett, a regularitási axióma még egy újabb paradoxont is okoz. A komprehenzivitás paradigmájának ''részleges'' félretétele, a halmazelmélet tiltó axiómákkal való „kifoltozása” (pl. a regularitási axiómával) önmagában nem feltétlenül oldja meg megnyugtató módon az ellentmondásokat, sőt újakat is generálhat.
# Ezért a fenti gondolatmenet nem csak egy újabb érv a komprehenzivitás naiv elve ellen, hanem rávilágít az antikomprehenzív halmazelméletek egyik központi problémájára: mely halmazok nem léteznek, és hogyan lehet ezt eldönteni? Nagyon érdekes például, hogy míg a fenti U halmaz nemlétezése a gyenge regularitás feltétele mellett egészen nyilvánvaló, a vele egyenlő R nem-létezése azonban egyáltalán nem annyira. Hogyan lehet látni egy intenzionális halmazdefinícióról, hogy paradox? Erre a kérdésre mai tudásunk szerint nem tudunk válaszolni.
| |||