„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Russell tételei” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
17. sor:
# Összességében, nem igaz sem „R tartalmazza önmagát”, sem „R nem tartalmazza önmagát”. Ilyen nincs. Egy becsületes halmazra (osztályra) teljesül [[Halmazelmélet/Alapfogalmak#Egyed, osztály, elem(e)|az egyértelmű meghatározottság axiómája]], de R nem ilyen: R létezésének feltételezése ellentmondásra vezet. Mivel R halmazelméleti eszközökkel egyszerűen definiálható, a halmazelmélet ellentmondásos elmélet <ref>Hogy egy matematikai elmélet ellentmondásos (szakszóval: '''inkonzisztens'''), azaz benne egy állítás és annak tagadása is bizonyítható (nevezzük az ilyen állítást az elmélet ''irreguláris'' állításának), azért baj, mert könnyű belátni, hogy ekkor minden, az elméletben megfogalmazható állítás irreguláris. Azaz egy ellentmondásos elméletnek bármely mondata igaz, és annak az ellenkezője is. Az ilyen elmélet nem túl hasznos és nem is túl érdekes.</ref>.
Az első - ugyan hatástalannak bizonyuló, de mégsem haszontalan - gondolat, ami a Russell-paradoxon eredeti formájának megoldására eszünkbe juthat, az, hogy az öntartalmazkodó halmazok megengedése okozza az ellentmondást. Egyáltalán, tartalmazhatja egy halmaz elemként önmagát? <ref>Ld. az ''[[Halmazelmélet/Alapok#Osztályok, amik elemei önmaguknak?|Osztályok, amik elemei önmaguknak?]]'' c. megjegyzésünket.</ref> Hiszen, ha egyetlen halmaz sem tartalmazhatja magát elemként (a gyenge regularitás axiómája), akkor nem kérdés, hogy R tartalmazza-e magát elemként vagy sem: nem tartalmazza. Tehát szóba sem jöhet az R∈R eset (1.). Sajnos, az R∉R (azaz a 2.) eset ebben az esetben is ellentmondást jelent. Ha R∉R, akkor R egy önmagát elemként nem tartalmazó halmaz, viszont R az összes ilyet tartalmazza, tehát R∈R. Nincs mese: R még a reguláris halmazelméletekben sem létezik. A regularitási axiómával nem oldható fel Russell paradoxona (sőt, egy [[#Az univerzalitás paradoxona|újabb paradoxon]] is fellép). Ez mindenképp azt jelenti, hogy fel kell adni a komprehenzivitás elvét, tehát be kell látnunk, hogy nem létezik minden, látszólag kifogástalanul definiálható halmaz.
=== Az univerzalitás paradoxona ===
| |||