|
Ha akadnak, akiket a 3. példában kapott eredmény az n elemű halmaz feletti hipergráfok számáról kísértetiesen emlékeztetett az n-változós logikai függvények számáról szóló tételre, ezek után talán jobban belelátnak összefüggésekbe.
{{HGF|1=Gyakorló feladatok|2=Boole-vektor1|4=Gyakorló|5=⍰|}}
#<big><big><big>⍰</big></big></big> Gyakorló feladat:
## Bizonyítsuk be, hogy egy véges, legalább két elemű U halmazt véve, az olyan U feletti hipergráfok száma, melyek minden éle két elemű, négyzetszám! <ref>Gráfelméleti nyelven: Legalább két elemű halmaz felett mindig négyzetszámnyi sok ''gráf'' található.</ref>
## Bizonyítsuk be, hogy véges, legalább n elemű U halmazt véve, az olyan U feletti hipergráfok száma, melyeknek minden éle n elemű, n-edik hatvány! (megjegyzés: üres hipergráfot is megengedünk).
## Adjunk képletet egy véges, n elemű U halmaz azon hipergráfjainak számára, melyek minden éle v-elemű (v∈<u>0,n</u>) <ref>Ezek az ún. n-edrendű v-uniform hipergráfok.</ref>
## Legyen az U feletti H hipergráf Boole-vektora b(H), a J hipergráfé pedig b(J). (Milyen) halmazművelettel keletkezik a b<sup>-1</sup>(b(H)@b(J)) hipergráf a H,J hipergráfokból, ha @ a modulo 2 összeadás, a szorzás, a kivonás, a minimumképzés, a maximumképzés?
## Hogyan néz ki egy U feletti hipergráfnak az U hatványhalmazára vonatkozó komplementerének Boole-vektora?
#<big><big><big>⍰</big></big></big> Gyakorló feladat: Egy, az u 1,2,...,n változókon értelmezett n-változós f logikai függvény hipergráfjának nevezzük az {u<sub>i</sub> | i=1,2,...,n} halmaz azon halmazcsaládját, amely U pontosan azon R részhalmazait tartalmazza, melyekre χ(R,u<sub>i</sub>)=f(u<sub>i</sub>) minden i-re teljesül. Mit jelent a logikai függvény hipergráfjára nézve az, hogy az u<sub>1</sub> változó fiktív (fiktívnek nevezünk egy független függvényváltozót, hogyha a többi változó rögzített értéke mellett értéke bárhogy is változik, a függvényérték állandó marad)?
{{HGF|1=További feladatok|2=Boole-vektor2|4=További|5=⍰|}}
<big><big><big>☠</big></big></big> Nehezebb feladat:
# Általánosítsuk a Boole-vektor fogalmát végtelen halmazokra! A jólrendezési tétel használata megengedett.
{{HGF|1=Nehezebb feladatok|2=Boole-vektor3|4=Nehezebb|5=⍰|}}
# Véletlenszerűen választunk két n-edrendű hipergráfot (ugyanabból az U halmazból). Mekkora a valószínűsége, hogy a nagyobb rendszámú hipergráf több elemet fog tartalmazni?
# Írjuk fel annak az eseménysorozatnak a valószínűségeloszlását (ha lehet, adjunk képletet), hogy egy k rendszámú és n-edrendű hipergráf (n rögzített, k nem) több elemet tartalmaz, mint az összes őt megelőző rendszámú! Készítsünk grafikont!
A Boole-vektor az első hatásos eszköz arra, hogy a hipergráfokat valemiféle rendezett és kényelmesebben elgondolható alakban képzelhessük el; a rengeteg idegölő, a szó szoros értelmében szemkápráztató kapcsos zárójelet és alsó indexet tartalmazó halmazelméleti formulák erre kevéssé alkalmasak. [[Halmazrendszerek geometriája/Illeszkedési struktúrák#Karakterisztikus függvény. Incidenciamátrix.|Nemsokára]] a Boole-vektornál is fontosabb szemléltető eszközöket is megismerünk.
| 