Szerkesztő:Gubbubu/Elemi logika feladatgyűjtemény

Bevezetés

Ennek a kis gyűjteménynek a célja egy többfunkciós, a középfokú oktatásban használható logikai feladatgyűjtemény összeállítása.

A logika és matematikai logika helye a középfokú tananyagban

A logika több ezer éves tudomány. Egyike az elsőként tudománnyá differenciálódott emberi ismeretszerző tevékenységeknek, köszönhetően Arisztotelész (Kr.e. 384 - Kr.e. 322) makedón származású athéni filozófusnak. Manapság egyik ága (vagy talán inkább határterülete), a matematikai logika a modern emberiség alakuló és láthatóan eljövendő társadalomformájának, az információs társadalomnak az egyik tudományos alapja, lévén, hogy a számítógépekben lévő nyomtatott áramkörök elméleti leírására a logikai Boole-algebra a legszokványosabb alap. A magyar középfokú oktatásban, és a Föld számos más országának középfokú oktatásában a matematikai logikai alapismeretek több-kevesebb helyt kapnak.

Bár a formális és explicit matematikai logikai ismeretekre épülő tananyag a jelenlegi tanmeneti sztenderdek mellett - hangsúlyozandó: ezek mellett - középfokú matematika anyagból igazából kihagyható lenne, hiszen lényegében már a helyzeténél fogva sem építhető rá semmi (a legtöbb forgalomban lévő és valaha is forgalomba került tankönyvsorozatban az utolsó, negyedik osztály elején található, és az utána következő „Sorozatok” és „Térgeometria” témaköröknél aligha lehet rá építeni), azt vélhetően és remélhetően minden matematikatanár tudja, hogy igazából, főleg informális formájában, a logikai ismeretek nélkülözhetetlen és alapvető részei nemcsak a matematikatanításnak, hanem a legtöbb tantárgy tanulásának és megalapozásának is.

Ez azonban gyakorlatilag egyáltalán nem vonatkozik sem a tananyagban nem szereplő tradicionális logikai ismeretekre, sem a tananyagban szereplő matematikai logika anyagra. Azt rögtön ki kell mondanunk, hogy egy jelenkori átlaggimnázium számára a tanított sztenderd matematikai logika anyagrész csak mint az érettségi része fontos, más szerepe gyakorlatilag nincsen.

A középszintű érettségiben jobbára kizárólag az "állítás és megfordítása" c. rövid szakasz az érdekes. Emiatt azonban a matematikai logika, bár jelentősége (úgy értjük, hogy az átlagdiák számára hozott közvetlen haszna, értelme) nagyon csekély, gyakorlatilag nem hagyható el a tananyagból.

A tanított sztenderd anyag címszavakban

• Alapok
  • Kijelentések és igazságérték a logikában.
• Nulladrendű logika
  • Logikai műveletek
    • Negáció
    • Konjunkció
    • Diszjunkció
    • Implikáció
    • Ekvivalencia
    • Értéktáblázat
  • Kijelentésformák / nulladrendű logikai kifejezések
    • Tautológia és kontradikció
    • Logikai törvények / műveleti szabályok / Boole-algebra
• Elsőrendű logika
  • Individuum, predikátum.
  • Kvantorok
• Alkalmazások
  • Bizonyításelmélet
    • Indirekt bizonyítás
  • Állítások és megfordításuk

Többfunkciós?

Amint a fentiekben vázoltakból is sejthető, a matematikai logika anyagnak a középfokú oktatásban való szerepeltetése, s ennek megfelelően tanítása és tanulása is, több eltérő motívációra vezethető vissza. Ezek közül némelyek, látszólag vagy valóságosan, ellent is mondanak egymásnak (pl. a matematikai logika elméleti metaság, vagy gyakorlati, fő célja az informatikai alkalmazás?).

• T: Elsősorban tudományos célok
  • T/e: Elméleti célok
    • T/e/m: A matematika megalapozása - a mat.log. a halmazelmélet mellett a matematika megalapozó, ún. metaelmélete. Minden matematikai fogalom beágyazható a halmazelmélet és mat.log. kettőse által alkotott keretelméletbe. Egyfajta szégyen lenne, ha emellett a középfokú oktatásból kimaradna, hiszen ez valahol mégiscsak átfogó képet is kívánna adni a matematikáról mint tudományról. Sajnálatos módon a középfokú mat.log. anyagból, attól tarthatunk, ez a metaelmélet jelleg csak nehezen bontakoztatható ki. Ez nem feltétlenül baj (elkerülhetetlen tragédia), de attól még sajnálhatjuk.
    • T/e/t: A Boole-algebra mint tipikus matematikai alelmélet: A matematikai logika, mind a nullad, mind az elsőrendű része, nagyon fontos példa egy eredetileg „humán” ismeretterület matematizálódásának bemutatására. Arra, hogy hogyan is működik a matematika, milyen eredeti logikai fogalmakból milyen új fogalmakat gyárt, hogyan válik gépiessé, algoritmizálhatóvá. A forgalomban lévő tankönyvek erre az aspektusra nem igazán vannak tekintettel.
  • T/a: Alkalmazás-orientált célok
    • T/a/a: Argumentáció: Érveléselméleti és nyelvészeti vonatkozások. Egyrészt a logikai műszavak eltérése és megfelelése a hétköznapi nyelvhez képest („ ...., DE .... = ... ÉS ...”), másrészt az érvelések lebontása formális, nulladrendű jellegű elemekre. Nagyon izgalmas része a logikának (bár a matematikai logikának csak határterülete) és ez is nagyon fontos lenne, azonban meglehetősen nehéz egy iskolában megvalósítani (időhiány, esetleges kilengés a matematikai stílustól és tartalomtól, járatlan út ... ).
    • T/a/k: Következtetések: A következtetések egyik lehetséges formális és precíz elméletének kifejtése.
    • T/a/i: Az informatika megalapozása - A Boole-algebra nagyon fontos (szerintünk nehezen nélkülözhető) támogatást jelent az informatika oktatásában. Így a mat.log. fő szerepe az informatika elméleti alapjainak bemutatása, precizírozása, a matematika és informatika kapcsolatának megmutatása.

• Elsősorban didaktikai célok
  • Segítség a matematikai következtetés fogalmának megértéséhez, kezeléséhez (kvantorok, konverziók, elfajult esetek)
  • Segítség a matematikai bizonyítás fogalmának megértéséhez, kezeléséhez (indirekt biz., formális implikáció)
  • Segítség a formális matematikai nyelv megértéséhez, kezeléséhez
  • Segítség a logikus gondolkodás fejlesztéséhez, a mindennapi érvelések objektív szemléletéhez

• Gyakorlati célok
  • Érettségi
  • Továbbtanulás (mérnök, informatikus)
  • Az órák változatosabbá tétele (szórakoztató logika)

Egy megfelelően válogatott feladatgyűjtemény a fentiek közül több funkciónak is eleget tehet.

Sajnos nagyon kevés könyv vagy feladatgyűjtemény van, amely alkalmas lenne a matematikai logika célorientált gyakoroltatására, az elméleti anyag „értelmessé” tételére. A legtöbb forgalomban lévő feladat a következő típusba sorolható:

Bevezető jellegű feladatok

Adatbázis-rejvények, mint pl. a híres "Einstein-fejtörő". Ebben a feladattípusban tárgyakat kell más tárgyakkal vagy tulajdonságokkal párosítani, az együvé tartozó rekordok a szövegben szétszórtan és implicit módon vannak megadva, és némi elmemunkával kell az összetartozó dolgokat megtalálni. Alkalmas az órák szórakoztatóvá tételére és bevezetésre, azonban a szorosabb értelemben vett matematikai logikához csekély közük van ezeknek a feladatoknak. Bevezető órákra viszont alkalmasak.

"Valódi" logikai feladatok

Nyomozás "Ki a bűnös" ill. "ki hazudott" típusú feladatok. Ezek már valóságközelibbek, mint a lovag-lókötősek. Alkalmasak bizonyos mértékben szórakoztatásra is, többnyire elméleti ismeretek nélkül, de azokra támaszkodva egyaránt megoldhatóak. Kimondhatjuk: ez valószínűleg az egyik, ill. a lehető legszerencsésebb mat.log.-feladat-típus.

Lovagok és lókötők. Ezek is fejtörő feladatok, és több közük van a szorosabb értelemben vett anyaghoz. Merem állítani, hogy a forgalomban lévő feladatok legalább fele ebbe a kategóriába tartozik. Nagyon népszerűek a feladatszerkesztők körében, a híres Smullyan pedig egész könyvsorozatot állított össze ilyen feladatokból. A magam részéről a népszerűségüket bosszantónak, ill. nagyrészt érthetetlennek találom, túlhypeolás forog fenn. Egyrészt teljesen mese jellegű, elvont szituációkat tárgyalnak, szemmel látható gyakorlati haszon nélkül. Másrészt nincs annyi közük az oktatandó anyaghoz, mint azt sokan gondolják. Bár játékosnak látszanak, ezek nagy tömegben meglehetősen haszontalan, elméleti feladatok, amelyek inkább az "agyament matematika" jellegű tévhitet erősítik. Kis tömegben alkalmasak bevezetésre, ill. gondolkodásfejlesztésre.

Fordítsunk meg és tagadjunk állításokat. Ezek is "igazi" logikafeladatok, azonban többnyire nagyon egyhangúak és matematikaorientáltak, így nem kötik le hosszan a diákokat, és csak az anyag egy kis részéhez (noha az érettségi szempontjából a legfontosabbhoz) van közük.

Boole-algebrai feladatok: Bizonyítsunk értéktáblázattal. Fontos részei az anyagnak, azonban a gyakorlati hasznuk, értelmük általában elsikkad.

Tévesen mat.log.-inak tartott feladatok

Igaz-hamis matematikai állítások. Pl. "Igaz-e a következő állítás: Bármely paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög". Ezek tulajdonképpen egyáltalán nem mat.log. feladatok, ha nagy tömegben előkerülnek (itt kizárólag arról a szituációról beszélünk, amikor kifejezetten mat.log. tanításnak kellene zajlania), az a feladatanyag-szerkesztők fantáziátlanságának és az időhiánynak a bizonyítéka, többnyire.

Skatulyaelven és szitaformulán alapuló feladatok. A skatulyaelv hagyományosan kombinatorikai, a szitaformula pedig halmazelméleti objektum. Mindkettőnek van köze a tágabb értelemben vett logikához, azonban bőven tárgyalhatóak a kombinatorika ill. halmazelméleti anyag részeként.

Bevezető feladatok

Párosítási rejtvények

Ebben a feladattípusban lényegében adatokat kell beírni egy táblázatba, párosítva egymással bizonyos, megadott kijelentések alapján összefüggő tulajdonságokat. Ez lényegében unalmasan hangzik, de a gyakorlatban szórakoztató is lehet, függetlenül akár a feladat „körítésétől”.

Párocskák és alkalmak

---

Egy baráti társaság négy párból (négy fiúból és négy lányból) áll. A mai estét mindenki a párjával, de a többiektől külön töltötte. András hangversenyre ment; Béla Olgával töltötte az estét. Csaba nem látta Rozit, Panni moziban volt, Rozi viszont színházban. A társasághoz tartozik még Dezső és Sári. Az egyik pár kiállításon volt. Mindegyik fiúnak egy-egy leánnyal volt közös programja

Ki kivel és hol járt ezen az estén?

---

Megoldás: A legegyszerűbb, ha egy 3 oszlopból (fiú - lány - helyszín) álló táblázatot készítünk a következőképp:

Fiú	Lány	Helyszín
...	...	...

A „Csaba nem is látta Rozit” mondat kivételével gond nélkül beírhatjuk a feladatszöveg által közölt ismereteket a táblázatba. A kérdéses mondat adatait egyelőre írjuk két külön sorba.

Fiú	Lány	Helyszín
András	?	hangverseny
Béla	Olga	?
Csaba	?	?
?	Rozi	színház
?	Panni	mozi
Dezső	?	?
?	Sári	?
?	?	kiállítás

A megoldás egy lehetséges gondolatmenete a következő:

1. András a hangversenyen nem lehetett 1). Olgával (aki Bélával volt), 2) Rozival (aki színházban volt), 3) Pannival (aki moziban volt), tehát 4) ő csak Sárival lehetett.
2. Béla Olgával nem lehetett 1) hangversenyen (ott András és Sári voltak), 2) színházban (ott Rozi volt valakivel), 3) moziban (ott Panni volt valakivel); így 4) ők csakis a kiállításon lehettek.
3. Csaba, mivel a fentiek szerint 1) Olgával, 2) Sárival nem lehetett, 3) Rozit sem látta a feladat szövege szerint, csakis 4) Pannival lehetett, a moziban.
4. Dezső, mivel a fentiek szerint 1) Olgával, 2) Sárival, és 3) Pannival nem lehetett, Rozival volt a színházban.

A Zebra-fejtörő avagy az „Einstein-feladvány”

A feladat eredeti szövege

A feladattípus egy bonyolultabb példányát sokan, köztük kortárs internetes bulvárforrások (a gyermek) Einsteinnek, többen pedig a matematikus-szépíró Lewis Carrollnak tulajdonítják, és gyakorta társul mellé az az állítás, hogy az emberiségnek pusztán mintegy 2%-a tudja megoldani. Mindkét állítás kacsa: a feladvány első ismert, egy angol újságban megjelent változatának szövege alapján egyértelműen cáfolható mindkét említett lángelme szerzősége (pl. a szövegben említett Kools cigarettamárka nem létezett sem Carroll idejében, sem Einstein fiatalkorában), a feladványt pedig elegendő türelemmel egy hetedikes-nyolcadikos általános iskolás is képes lehet belátható időn belül megoldani. Az alábbi szöveg a Life International magazinban megjelent fejtörő fordítása, apró, a lényeget nem érintő, csak stilisztikai változtatásokkal. Az interneten található Einstein-fejtörő általában megváltoztatva (modernizálva) közli a cigarettamárkákat, és a „ki tart zebrát” helyett a kérdés, hogy „ki tartja a halakat” (a fejtörő lényegén, a megoldás menetén ez nem változtat). Számos egyéb változat is létezik, pl. egészségbarát verziók, ahol dohányáruk helyett termesztett növények vagy hasonlók szerepelnek. A feladat mélyebb elméleti hátteréről és algoritmikus megoldásáról ld. Carlo Tomasi: The Zebra Puzzle. (pdf).

Egy utcasorban van öt, különböző színűre festett ház, mindegyikben egyetlen, különböző nemzetiségű lakóval, akik mind tartanak valamilyen állatot (mind különfélét), isznak valamilyen italt (mind különfélét), és szívnak valamilyen dohánymárkát (de nem ugyanazt).

• Az angol lakik a piros házban.
• A spanyol kutyát tart.
• A zöld házban lakó kávézni szokott.
• Az ukrán teázni szeret.
• A zöld ház közvetlenül a fehér mellett jobbra található (a házsorral szemben állva jobbra).
• Az Old Gold szívart szívó csigákat tart.
• A Kool cigarettát szívó a sárga házban lakik.
• A középső ház lakója bősz tejivó.
• A legelső házban a norvég lakik.
• A Chesterfield cigarettát szívó a rókát tartó ember egyik szomszédja.
• A Kool cigarettát szívó a lótartó háza mellett lakik.
• A Lucky Strike cigarettát szívó narancslét iszik.
• A japán Parliament cigarettát szív.
• A norvég a kék házban lakó egyik szomszédja.

Kérdés: Melyikük iszik csak vizet, és ki tartja a zebrát?

Az első lépések

Először is, az szembetűnő, hogy az adatbázisban kétféle nagyon különböző kategóriába tartozó információ található. Bizonyos mondatok a házak térbeli elrendezéséről szólnak, ami a szorosabb értelemben vett megoldásnak (a végeredménynek) nem része, közömbös (noha a megoldási folyamat szempontjából lehet, hogy számít). Másrészt a többi mondat a házak belsejéről szól, hogy kik laknak bennük, és mit csinálnak. Csoportosítsuk először a kétféle mondattípust:

1. A)Térbeli elrendezés
   1. A zöld ház közvetlenül a fehér mellett jobbra található (a házsorral szemben állva jobbra).
   2. A középső ház lakója bősz tejivó.
   3. A Chesterfield cigarettát szívó a rókát tartó ember egyik szomszédja.
   4. A legelső házban a norvég lakik.
   5. A Kool cigarettát abban a házban szívják, amelyik a lótartó háza mellett van.
   6. A norvég a kék házban lakó egyik szomszédja.
2. B) „Belső”
   1. Az angol lakik a piros házban.
   2. A spanyol kutyát tart.
   3. A zöld házban lakó kávézni szokott.
   4. Az ukrán teázni szeret.
   5. Az Old Gold szívart szívó csigákat tart.
   6. A Kool cigarettát szívó a sárga házban lakik.
   7. A Lucky Strike cigarettát szívó narancslét iszik.
   8. A japán Parliament cigarettát szív.

Most szedjük össze, hogy egyáltalán mik a lehetőségek, az adatok! Öt ház van. A színek: 1) zöld, 2) fehér, 3) kék, 4) piros, 5) sárga. Öt nemzetiség van: 1) norvég, 2) angol, 3) spanyol, 4) ukrán, 5) japán. Öt ital van: 1) tej, 2) kávé, 3) tea, 4) narancslé, 5) víz (ez utóbbi csak a kérdésekből derül ki). Öt dohányipari termék van: 1) Chesterfield, 2) Kool, 3) Old Gold, 4) Lucky Strike, 5) Parliament. Végül öt háziállat van: 1) róka, 2) ló, 3) kutya, 4) csiga, 5) zebra (ez utóbbi csak a kérdésből derül ki).

Mivel elég sok információnk van a térbeli elrendezésről, először próbáljuk meg ábrázolni a házakat az utcasorban elrendezve! A4) szerint a norvégé az első ház, ez „biztos pont”. „Elsőnek” mi az házsorral szemben állva legbaloldalibbat fogjuk tekinteni (arra hivatkozva, hogy A1 szerint érdemes a házsorral szemben állni) - ugyan ez csak feltételezés, ezért majd érdemes lesz megoldani a feladatot az ellenkező lehetőséget is feltételezve. De egyelőre ne kavarjunk. A6) szerint a norvég háza a kék ház szomszédja. Mivel a norvégnak nincs balszomszédja, a kék ház, ami a szomszédja, csak jobbszomszéd lehet, azaz tőle eggyel jobbra áll. Tehát még van egy biztos pont: a 2. ház csakis a kék lehet.

Az 1. ház, a norvég háza nem lehet fehér, mert akkor jobbra a zöld háznak kellene lennie (a 2. ház zöld lenne), holott a kék van ott. A norvég háza nem lehet kék, hiszen a 2. ház a kék. A norvég háza nem lehet zöld, hiszen a zöld a fehér ház jobbszomszédja, de a norvég háza A4) miatt egyik háznak sem jobbszomszédja, lévén a balszélen áll. A norvég háza nem lehet továbbá B1) szerint piros, mert a piros az angolé. Egyetlen lehetőség maradt: a norvég háza a sárga. Továbbá B6) szerint a sárga házban Koolt szívnak, tehát a norvég a Kool cigarettát szereti. Továbbá A5) szerint ekkor a szomszéd lótartó. Mivel a norvégnak egyetlen szomszédja van, a 2. ház, már tudjuk, hogy ott tartják a lovat.

A harmadik ház a középső, tehát a kék jobb oldali szomszédja. Ez az előző bekezdés szerint sárga és kék már nem lehet, mert ezek a színek már foglaltak az előző házak számára. Továbbá az nem lehet a zöld ház, mivel a zöld ház a fehértől jobbra van, nem pedig a kéktől. A harmadik ház vagy fehér, és ekkor a 4. a zöld és az 5. a piros, de lehet esetleg piros is a harmadik ház, és akkor a 4. fehér, az 5. zöld. És csak ez a két lehetőség van a 3.-4.-5. házakra nézve ez pl. kizárja azt is, hogy a 4. ház lenne piros. Valóban, ha a 4. ház piros lenne, az mintegy „kettévágná” a fehér és a zöld ház egymás melletiségét). A következő ábrát kapjuk:

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga (norvég) (Koolt szív)	kék (lótartó)	fehér? piros? (tejivó)	zöld? fehér?	piros? zöld?

Most már ideje, hogy helyet csináljunk a táblázatban a többi adatnak:

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga	kék	fehér? piros?	zöld? fehér?	piros? zöld?
Nemzetiség	norvég	2.	3.	4.	5.
Ital	1.	2.	tej	4.	5.
Állat	1.	ló	3.	4.	5.
Dohány	Kool cigaretta	2.	3.	4.	5.

A neheze

Kezdjük el beírni a többi adatot!

Az A1) mondatból már semmi többet nem tudhatunk meg, így ki is húzhatjuk.

Az A2) mondat megadja a tejivó helyét, ez pozitív információ, azonban „negatív” jellegű információ is nyerhető belőle; nevezetesen, hogy a többi házban nem isznak tejet. Ennélfogva:

1. az 1., sárga házban a norvég kávét, teát, narancslét vagy vizet ihat, de ezt még szűkíthetjük B3) (a zöld házban kávéznak), B4) (az ukrán teázik) és B7) alapján (a narancslét a Lucky Strike-os dohányos issza, nem a Kool-os norvég). Tehát a norvég csakis vizet ihat (ezzel meg is van a válasz a feladat első kérdésére) ... érdekes ízlés.
2. a 2., kék házban lakó emberke sem iszik tejet, és most már azt is tudjuk, hogy vizet sem szívesen, tehát kávét, teát vagy narancslét szeret. De nem a kávét, azt B3) szerint a zöld házban isszák, így marad neki a tea vagy a narancslé.
3. a 4. és 5. házban sem ihatnak vizet vagy tejet, marad a kávé, tea, narancslé. Hiába böngésszük a mondatokat, közvetlenül nem adódik több információ egyelőre az italokról.

Az A3) mondat szerint (a Chesterfield szívója szomszédja a rókatartónak) az 1. házban biztosan nem szívnak Chesterfieldet (egyébként már tudjuk, hogy Koolt szívnak), mert a 2. házban nem róka-, hanem lótartó lakik. A 2. házban szívhatnak Chesterfieldet, Old Goldot, Lucky Strike-ot és Parliamentet. Sajnos ugyanez mondható el a többi házról is, bármelyik 4 dohányárut szívhatják bennük, az adatbázisból közvetlenül nem lehet több lehetőséget kizárni. De ha végignézzük a többi mondatot, azokat is nagyon felhasználtuk már (különösen az A típusúakat), vagy pedig túl sok lehetőséget rejtenek. Ezért ideje taktikát váltani.

Eddig mondatonként böngésztük végig a táblázat celláit, hogy mit tudunk a mondatokból kihozni és ki tudjuk-e húzni őket, ha már minden mondanivalójukat kimerítettük. Most próbáljunk egy kicsit célirányosabban közelíteni, és a táblázat azon celláival foglalkozni, amelyek már majdnem kitöltött sorokban vagy oszlopokban állnak!

A táblázat most a következőképp néz ki:

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga	kék	piros? fehér?	fehér? zöld?	zöld? piros?
Nemzetiség	norvég	2.	3.	4.	5.
Ital	víz	tea? narancslé?	tej	kávé? tea? narancslé?	kávé? tea? narancslé?
Állat	1.	ló	3.	4.	5.
Dohány	Kool	2.	3.	4.	5.

Nagyon jó lenne, ha az 1. oszlopban csökkenteni tudnánk az üres cellák számát és rájönnénk, milyen állatot tart a norvég! Ez az egyetlen információ, amit a norvégről és a sárga házról még nem tudunk. A norvég nem tarthatja az öt állat - ló, róka, csiga, zebra és kutya - bármelyikét. Ugyanis lovat nem tarthat, mert azt a kék házban lakó szomszéd tartja. Csigát sem tarthat, mert akkor Old Goldot kellene szívnia ( B5) ), holott Koolt szív. Kutyát sem tarthat, mert azt a spanyol tartja ( B2) ). Tehát legalább jelentősen korlátoztuk a lehetőségek számát: a norvég csak zebrát vagy rókát tarthat.

Hasonlóan hasznos lenne, ha a 2., kék házban lakó nemzetiségéről többet tudnánk. A 2., kék ház lakója nem lehet az öt nemzetiség - angol, norvég, japán, ukrán és spanyol - bármelyike. Ugyanis az angol nem lehet, mert az a piros és nem a kék házban lakik ( B1) ). A norvég nem ő, hanem a balszomszédja. A spanyol sem lehet, mert a spanyol kutyatartó ( B2) ), holott a 2. ház lakója lótartó. A 2., kék ház lakója csak a japán vagy az ukrán lehet. A táblázat tehát így néz ki:

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga	kék	piros? fehér?	fehér? zöld?	zöld? piros?
Nemzetiség	norvég	japán? ukrán?	3.	4.	5.
Ital	víz	tea? narancslé?	tej	kávé? tea? narancslé?	kávé? tea? narancslé?
Állat	zebra? róka?	ló	3.	4.	5.
Dohány	Kool	2.	3.	4.	5.

És most szerencsénk van ezzel a japánnal. Ugyanis ha a kék ház lakója japán lenne, akkor nem teázhatna, mert akkor ukrán lenne ( B4) ). Akkor narancslét ihatna csak. De a narancsléivó Lucky Strike-ot szív ( B7) ), a japán meg Parliament-et ( B8) ). Ez ellentmondás. A 2. házban nem lakhat a japán, csak az ukrán, a 4. és 5. házban pedig kiesik a teaivás lehetősége. Ezek után a 2. házban szívott dohányról is többet tudhatunk (a dohány az egyetlen sor/cella, amit még nem ismerünk e házban). Nevezetesen, az öt cigarettamárka - Kool, Parliament, Old Gold, Chesterfield, Lucky Strike - közül a Kool kiesik, a Parliemant is, mivel az a japáné és nem a 2. ház ukránjáé ( B8) ), az Old Gold is, mivel az a csigatartóé és nem a 2. ház ukrán lótartójáé ( B5) ) és a Lucky Strike is, mivel az a narancsléivóé és nem a teaivó ukráné ( B7) ). Marad tehát a Chesterfield.

A táblázat a következőképp módosul:

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga	kék	piros? fehér?	fehér? zöld?	zöld? piros?
Nemzetiség	norvég	ukrán	3.	4.	5.
Ital	víz	tea	tej	kávé? narancslé?	kávé? narancslé?
Állat	zebra? róka?	ló	3.	4.	5.
Dohány	Kool	Chesterfield	3.	4.	5.

És most ott tartunk, hogy nagyjából kiszívtunk mindenfajta „direkt” információt az adatbázisból, sőt sok „negatív” jellegű információt is felhasználtunk. Az A) adatcsoport mondatait a „Chesterfield a rókatartó szomszédja” kivételével mind felhasználtuk, utóbbi meg a B) adatcsoport mondatai viszont túl „homályosak”, túl sok variációt hagynak. Pl. „a spanyol kutyát tart” -de még mindig háromféle házban lakhat a spanyol, a 3. vagy 4. vagy 5. házban. Ez túl sok alternatíva, és a legtöbb felhasználatlan mondat ilyen.

Vagy mégsem? Érdemes észrevenni, hogy számos alternatíva bináris - pl. ( B1) ) az angol csak két házban lakhat, a pirosakban (3. v. 5.), és ha a piros házat rögzítjük, akkor a többi ház is rögzül. Érdemes még ezt a fajta bináris lehetőséget alaposabban szemügyre venni. A „hol lakik az angol?” és „a három utolsó ház közül melyik a fehér?”, még eldöntendő kérdések szorosan összefüggnek (és még több más kérdéssel is összefüggnek - pl. ha megvan a zöld ház helye, akkor ott csak kávét lehet inni), és eldöntésük bináris esetszétválasztást igényel csak. Kezdjük!

Hol van a fehér ház és az angol? - 1. eset

Az első eset a kettő közül, hogy az angol a 3. házban lakik, és az piros ( B1) ). Ezáltal a 4. ház fehér, az 5. ház zöld ( A1) ), és az utóbbiban kávéznak ( B3) ), ezért a 4., fehér házban csak narancslét ihatnak, s egyúttal B7) miatt Lucky Strike-ot szívnak. (A táblázatban eddig sima kérdőjel jelezte, hogy egy előtte álló adat pusztán alternatíva. Most zárójeles kérdőjellel jelezzük, ha az előtte álló adat hipotetikus konkrétum, azaz egy valahol rögzített feltevésből következik - hogy nem látszik ugyan alternatívának, de csak látszólag nem az. Ha egy adat bizonyosság, akkor nincs utána semmiféle kérdőjel).

Ha sok a pozitív információ, a negatívakat is könnyebb észrevenni. Mivel a 4. házban Lucky-t szívnak, az nem lehet a japán Parliament-et szívóé ( B8) ). A japán a 3.-4.-5. házak közül így sem az angol által elfoglalt 3.-ban, sem a nemszeretem dohányáru miatt kellemetlenné vált 4.-es házban nem lakhat, csak az 5.-ös marad neki. A spanyol kutyatartó így az utolsó elfoglalatlan lakóhelyen, a 4.-esben szívja a Lucky Strike-ját.

Ezáltal az utolsó sort egy cella kivételével kitöltöttük, s ez azt jelenti, hogy az Old Gold-ot szívó csigatartó ( B5) ) csakis a 3. házban lakó angol lehet. A táblázat:

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga	kék	piros (?)	fehér (?)	zöld (?)
Nemzetiség	norvég	ukrán	angol (?)	spanyol (?)	japán (?)
Ital	víz	tea	tej	narancslé (?)	kávé (?)
Állat	zebra? róka?	ló	csiga (?)	kutya (?)	5.
Dohány	Kool	Chesterfield	Old Gold (?)	Lucky Strike (?)	Parliament (?)

És most már véglegesíthetjük a táblázatot és válaszolhatunk a kérdésekre. Mivel az biztos információ, hogy az ukrán Chesterfieldet szív, A3) szerint a rókatartó az ő szomszédja - tehát vagy az 1., norvég lakta sárga ház, vagy a 3., hipotetikusan angol lakta piros ház. De az utóbbiban hipotetikusan már csak csigát tarthatnak (amíg az angol helyét nem rögzítettük, ezt nem tudhattuk). Tehát a norvégnak muszáj rókát tartania, és ezáltal a zebrát az 5., zöld házban lakó japán tartja. Egy lehetséges megoldás tehát:

A norvég iszik vizet, és a japán tart zebrát.

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga	kék	piros (?)	fehér (?)	zöld (?)
Nemzetiség	norvég	ukrán	angol (?)	spanyol (?)	japán (?)
Ital	víz	tea	tej	narancslé (?)	kávé (?)
Állat	róka (?)	ló	csiga (?)	kutya (?)	zebra (?)
Dohány	Kool	Chesterfield	Old Gold (?)	Lucky Strike (?)	Parliament (?)

Persze nem vagyunk készen. Ez csak egy lehetőség, de hátha van a másik; és még erről is ellenőrizni kell, hogy az adatbázis mondatai hiánytalanul és ellentmondás nélkül teljesülnek-e.

1). A zöld ház közvetlenül a fehér mellett jobbra található (a házsorral szemben állva jobbra)? Igen; a zöld ház az 5., míg a fehér ház tőle balra a 4. 2). A középső ház lakója bősz tejivó? Igen, a 3., középső, piros házban az angol tejet iszik. 3). A Chesterfield cigarettát szívó a rókát tartó ember egyik szomszédja? Igen, a 2. házban Chesterfieldet szívó ukrán szomszédja az 1., kék házban lakó norvégnak, aki rókát tart. 4). A legelső házban a norvég lakik? Igen. 5). A Kool cigarettát abban a házban szívják, amelyik a lótartó háza mellett van? Igen, az 1. házban a norvég Koolt szív, a 2. házban az ukrán Chesterfieldet szív és lovat tart és szomszédok. 6). A norvég a kék házban lakó egyik szomszédja? Igen, a norvég 1. számú sárga háza a 2. számú kék ház mellett van; 7). Az angol lakik a piros házban? Igen, az a 3. ház. 8). A spanyol kutyát tart? Igen, a 4., fehér házban laknak együtt; 9). A zöld házban lakó kávézni szokott? Igen, az utolsó házban a japán az; 10). Az ukrán teázni szeret? Igen, a 2., kék házban teázik; 11). Az Old Gold szívart szívó csigákat tart? Igen, érdekes módon a 3., piros házban lakó angol nem rókát, hanem csigát tart; 12). A Kool cigarettát szívó a sárga házban lakik? Igen, a norvég az az 1. házból; 13). A Lucky Strike cigarettát szívó narancslét iszik? Igen, ld. 4. (fehér) ház, ahol a spanyol lakik; 14). A japán Parliament cigarettát szív? Igen, mi mást szívhatna egy japán úriember egy szép zöld házban? - ld. 5. ház.

Egy megoldás tehát megvan.

Hol van a fehér ház és az angol? - 2. eset

A második eset a kettő közül, az angol most az utolsó, 5., házban lakik, és így annak kell pirosnak lennie ( B1) ); ezáltal a 3. ház fehér, a 4. ház zöld ( A1) ), és az utóbbiban kávéznak ( B3) ); ezért az 5., piros házban csak narancslét ihatnak, s egyúttal B7) miatt Lucky Strike-ot szívnak. A táblázat:

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga	kék	fehér (?)	zöld (?)	piros (?)
Nemzetiség	norvég	ukrán	3.	4.	angol (?)
Ital	víz	tea	tej	kávé (?)	narancslé (?)
Állat	zebra? róka?	ló	3.	4.	5.
Dohány	Kool	Chesterfield	3.	4.	Lucky Strike (?)

Az előző esetben kézenfekvő gondolatmenet, ami a dohányárura hivatkozva megtalálta a japán helyét, most nem működik. Annyit tudunk, hogy a 3. és a 4. házban foglalnak helyet a japán és a spanyol. Valamint az angol oszlopában már csak a tartott állat ismeretlen. Vajon ki lehetne okoskodni ezt? Szerencsére igen. Az angol az öt állat - ló, kutya, csiga, zebra, róka - közül a lovat nem tarhatja (azt a 2. házban az ukrán tartja), a kutyát sem (azt a 3. vagy 4. házban lakó spanyol tartja), csigát sem, mert a csigatartó Old Gold-ot szív ( B5) ), a narancsléivó angol meg Luckyt. Az angol tehát zebrát vagy rókát tart. Mármost rókát sem tarthat, mivel akkor egyetlen szomszédja, a 4. házban lakó spanyol/japán Chesterfield-et kellene, hogy szívjon ( A3) ), de ez már csak azért is lehetetlen, mivel a Chesterfieldet a 2., kék házban lakó ukrán szívja, egész bizonyos (nem hipotetikus) jelleggel, a 3. és 4. házban Old Goldot meg Parliamentet szívnak. Az angol tehát zebrát tart, így a norvég a rókát eteti.

A norvég iszik vizet, és az angol tart zebrát.

Házsor	1.	2.	3.	4.	5.
Ház színe	sárga	kék	fehér (?)	zöld (?)	piros (?)
Nemzetiség	norvég	ukrán	spanyol? (?) japán? (?)	japán? (?) spanyol? (?)	angol (?)
Ital	víz	tea	tej	kávé (?)	narancslé (?)
Állat	róka (?)	ló	kutya? (?) csiga? (?)	csiga? (?) kutya? (?)	zebra (?)
Dohány	Kool	Chesterfield	Old Gold? (?) Parliament? (?)	Parliament? (?) Old Gold? (?)	Lucky Strike (?)

És úgy tűnik, ez minden, amit megtudhatunk. A biztonság kedvéért ellenőrizzük, hogy az adatbázis mondatai hiánytalanul és ellentmondás nélkül teljesülnek-e.

1). A zöld ház közvetlenül a fehér mellett jobbra található (a házsorral szemben állva jobbra)? Igen; a zöld ház a 4., míg a fehér ház tőle balra a 3. 2). A középső ház lakója bősz tejivó? Igen, a 3., középső, fehér házban a spanyol vagy a japán tejet iszik. 3). A Chesterfield cigarettát szívó a rókát tartó ember egyik szomszédja? Igen, a 2. házban Chesterfieldet szívó ukrán szomszédja az 1., kék házban lakó norvégnak, aki rókát tart (ez az előző megoldáshoz képeset nem változott). 4). A legelső házban a norvég lakik? Igen. 5). A Kool cigarettát abban a házban szívják, amelyik a lótartó háza mellett van? Igen, az 1. házban a norvég Koolt szív, a 2. házban az ukrán Chesterfieldet szív és lovat tart és szomszédok. 6). A norvég a kék házban lakó egyik szomszédja? Igen, a norvég 1. számú sárga háza a 2. számú kék ház mellett van; 7). Az angol lakik a piros házban? Igen, az most az 5. ház. 8). A spanyol kutyát tart? Igen, habár sajnos nem elegendő az információ annak megmondásához, hogy a 3. vagy a 4. házban laknak-e. 9). A zöld házban lakó kávézni szokott? Igen, a 4. számú, zöld házban lakó spanyol vagy japán szereti a kávét. 10). Az ukrán teázni szeret? Igen, a 2., kék házban teázik; 11). Az Old Gold szivart szívó csigákat tart? Igen, habár nem tudjuk, a 3. vagy a 4. házban történik-e mindez, és hogy a spanyolt vagy a japánt hibáztassuk-e mindezért. 12). A Kool cigarettát szívó a sárga házban lakik? Igen, a norvég az az 1. házból; 13). A Lucky Strike cigarettát szívó narancslét iszik? Igen, ezúttal az 5. ház angol lakója él ilyen felemás módon egészségesen; 14) A japán Parliament cigarettát szív? Igen, habár nem tudjuk, a 3. vagy a 4. számú házban teszi-e ezt.

Megoldások: összegzés

Összegezve, két különböző válasz is adható a feladatban szereplő kérdésre. Minden, amit biztosan tudhatunk, tehát a következő: A norvég issza a vizet, a zebrát pedig akár az angol, akár a japán is tarthatja. Ha a táblázatok elkészítését is a megoldás részének tekintjük, akkor 3-féle különböző megoldás van.

Változatok

Egy gyakori változat, nevezzük „könnyítettnek”, azt teszi fel, hogy a zöld ház a fehér ház balszomszédja (nem pedig, ahogyan az eredeti szövegben volt, a jobbszomszéd). Ez azt jelenti, hogy a zöld ház csak a 4., a fehér pedig csak az 5. lehet (az első nem, mert az a sárga, a második nem, mert az kék, a harmadik nem, mert ott tejet isznak, míg a zöld házban kávét, és az ötödik sem, mert az nem balszomszédja semminek), és így a megoldás jóval könnyebb. Ez esetben a táblázatot csak egyféleképp és nem háromféleképp lehet kitölteni, tehát a megoldások (a kérdésre adott alternatív válaszok) száma is csak egy. Ld. pl. Lauri Karttunen: Einstein's Puzzle. Egy magyar nyelvű változat az origo.hu-n: Két százalék tudja ....

Mi van ha ... ? rovat:

• Mi van, ha a „könnyített verzióban” kitöröljük az adatbázisból a „zöld házban kávéznak” mondatot?
• Ha a „norvég lakik az első házban” mondatot az „első ház sárga” mondatra cseréljük?
• A két második megoldást eggyé tesszük a következő mondat hozzáfűzésével: „a fehér házban nem tartanak kutyát”. Ez azt jelenti, hogy a 2. megoldás két táblázatában a spanyol kutyatartó csak a 4., zöld házban lakhat, a 3, fehér házban pedig a japán.

Eszpresszó

---

Négy barát ül egy eszpresszó asztalánál: Sándor – Gábor – László – Zoltán. Négyféle italt: bor; sör; meggylé; Coca-Cola; és négyféle ételt: szendvics – 4 krémes – 3 pogácsa – fagylalt - rendeltek. A következőket tudjuk még róluk: (beszélgetésüket hallgatva)

1. Zoltán: - Figyelmeztetem, én antialkoholista vagyok!
2. - Pogácsa az a bor vagy a sör mellé való. Pedig én nem ahhoz rendeltem – mondja a társaság Zoltán mellett ülő tagja, és elveszi a pogácsát.
3. - Nem meleg a söröd? – kérdezi valamelyikük. - Csak a te fagylaltod legyen ilyen hideg! - válaszolta Sándor.
4. László: – Én az édes dolgokat nem eszem!
5. - Sajnos pogácsát elfelejtettem rendelni, de a meggylé az enyém! – mondja egyikük.
6. – Nem rendeltem süteményt – mondja Sándor, és közben az eléje tett borospoharat is eltolja.

Ki mit rendelt az asztalnál?

---

Most is célszerű táblázatot készíteni, ami 4 oszlopot és 3 sort tartalmaz, az oszlopok: Sándor - Gábor - László - Zoltán, a sorok: név - étel - ital.

A mondatok a következő érdemi, kitöltésre való információkat tartalmazzák (dőlten szedtük, amit beírunk a cellákba):

1. Zoltán nem iszik bort vagy sört, lévén antialkoholista. Tehát övé a meggylé v. a kóla.
2. A Zoltán melletti ember (Sándor, Gábor, vagy László) pogácsát rendelt (habár nem bor vagy sör mellé, de ő maga állítja, hogy rendelte). Ráadásul azt is megtudjuk, hogy ő sem rendelt sem bort, sem sört, tehát meggylét v. kólát.
   1. Ebből azt is megtudjuk, hogy Zoltán nem rendelt pogácsát, tehát krémest, fagylaltot vagy szendvicset.
3. Sándor sört rendelt, akivel beszélt, az meg fagylaltot.
   1. Eszerint még az is igaz, hogy Sándor nem rendelt fagylaltot, csakis pogácsát, szendvicset vagy krémest.
4. László nem eszik édeset, azaz krémest biztosan nem, és fagylaltot nagy valószínűséggel szintén nem (általában a fagylalt is édes.) Tehát szendvicset vagy pogácsát.
5. Valaki, aki nem pogácsát rendelt, meggylét iszik.
6. Nem Sándoré a krémes, és valószínűleg a bor sem (sőt, mivel sört rendelt, biztosan nem). Sándor tehát sört és vagy fagylaltot, vagy szendvicset, vagy pogácsát rendelt. Továbbá Sándor nem rendelhette a pogácsát sem, mivel 2). szerint aki pogácsát rendelt, az nem bor vagy sör mellé rendelte, holott Sándor sörözik; és különben is, a pogácsa is (pék-/sós-)süteménynek minősül, de Sándor azt állítja, nem rendelt süteményt. Továbbá Sándor a fagylaltot sem rendelhette, hiszen azt az rendelte 3. szerint, aki vele beszélt. Tehát Sándor csak egyféle ételt rendelhetett, szendvicset. Kihúzhatjuk Zoltán és László ételei közül is a "szendvics" lehetőséget. A következőképp állunk:

Név	Sándor	Gábor	László	Zoltán
Étel	szendvics	?	szendvics? pogácsa?	krémes? fagylalt? szendvics?
Ital	sör	?	?	meggylé? kóla?

Húzzuk ki azokat az információkat, amik már szerepelnek a táblázatban!

1. Zoltán nem iszik bort vagy sört, lévén antialkoholista. Tehát övé a meggylé v. a kóla.
2. A Zoltán melletti ember (Sándor, Gábor, vagy László) pogácsát rendelt (habár nem bor vagy sör mellé, de ő maga állítja, hogy rendelte). Ráadásul azt is megtudjuk, hogy ő sem rendelt sem bort, sem sört, tehát meggylét v. kólát.
   1. Ebből azt is megtudjuk, hogy Zoltán nem rendelt pogácsát, tehát krémest, fagylaltot vagy szendvicset.
3. Sándor sört rendelt (akivel beszélt, az meg fagylaltot.
   1. Eszerint még az is igaz, hogy Sándor nem rendelt fagylaltot, csakis pogácsát, szendvicset vagy krémest.
4. László nem eszik édeset, azaz krémest biztosan nem, és fagylaltot nagy valószínűséggel szintén nem (általában a fagylalt is édes.) Tehát szendvicset vagy pogácsát.
5. Valaki, aki nem pogácsát rendelt, meggylét iszik.
6. Nem Sándoré a krémes, és valószínűleg a bor sem (sőt, mivel sört rendelt, biztosan nem). Sándor tehát sört és vagy fagylaltot, vagy szendvicset, vagy pogácsát rendelt. Továbbá Sándor nem rendelhette a pogácsát sem, mivel 2). szerint aki pogácsát rendelt, az nem bor vagy sör mellé rendelte, holott Sándor sörözik; és különben is, a pogácsa is (pék-/sós-)süteménynek minősül, de Sándor azt állítja, nem rednelt süteményt. Továbbá Sándor a fagylaltot sem rendelhette, hiszen azt az rendelte 3. szerint, aki vele beszélt. Tehát Sándor csak egyféle ételt rendelhetett, szendvicset.

Összefoglalva:

1. Valaki, aki nem Zoltán, és pogácsát rendelt, nem iszik bort és sört, azaz meggylét vagy kólát iszik.
2. Valaki, aki nem pogácsát rendelt, meggylét iszik.

A táblázattal a következőképp állunk:

Név	Sándor	Gábor	László	Zoltán
Étel	szendvics	?	pogácsa	krémes? fagylalt?
Ital	sör	?	?	meggylé? kóla?

Külön felhívjuk rá a figyelmet, hogy amikor rájöttünk, hogy Sándoré a szendvics, azzal az is kiderült, hogy László rendelte a pogácsát (csak két lehetősége volt ételre: a szendvics és a pogácsa). Tehát a megmaradt 1. állítás szerint László meggylét vagy kólát ihat csak. De a megmaradt 2. állítás szerint aki meggylét iszik, nem eszik pogácsát. Tehát László csak kólát ihat. Ezzel a következő táblázatot kapjuk:

Név	Sándor	Gábor	László	Zoltán
Étel	szendvics	?	pogácsa	krémes? fagylalt?
Ital	sör	?	kóla	meggylé! kóla

Ezzel „elfogyott” (gazdát nyert) háromféle ital, és így Gábor csak a bort rendelhette.

Név	Sándor	Gábor	László	Zoltán
Étel	szendvics	?	pogácsa	krémes? fagylalt?
Ital	sör	bor	kóla	meggylé

Gábor továbbá nem rendelhetett szendvicset (az Sándoré) és pogácsát (az Lászlóé), tehát akárcsak Zoltán, ő is csak krémest vagy fagylaltot ehet. Már csak ezt a két ételt kellene Zoltán és Gábor közt „elosztani”. Átböngészve azonban a párbeszédrészletet újra, kiderül, hogy az ebben nem ad semmiféle támpontot, vagyis 2 különböző megoldás van.

Név	Sándor	Gábor	László	Zoltán
Étel	szendvics	krémes? fagylalt?	pogácsa	krémes? fagylalt?
Ital	sör	bor	kóla	meggylé

Megjegyzés: kiváló bevezető feladat. Informálisan számos logikai fogalmat használhat a megoldó, pl. a komplementer halmaz fogalmát vagy a diszjunkcióét. Azonban épp emiatt bele is lehet zavarodni a megoldásba, rendszerezett és koncentrált gondolkodást igényel, járatlan vagy kedvetlen rejtvényfejtő számára a megoldás meglehetősen hosszú időt is igénybe vehet. Emiatt dolgozatpéldának vagy „első feladat a témakörben” szerepre nem alkalmas, viszont kiváló gyakorlófeladat haladóknak (2. órás feladatok) vagy házi feladatnak.

Csak halkan jegyezzük meg, hogy e szöveg szerzője biztosan nem rendelne krémeshez bort, ami a fagylalthoz viszont talán kicsit jobban illik (a kettő együtt tulajdonképpen ... likőr). Ám az édes krémeshez a savanyú meggylé is furának hat, hiszen a tejszínes krémeshez, főleg 4 darabhoz, inkább valamiféle tejtermék vagy kávé illenék ... De hát puszta ízlés alapján nem szabad egy logikafeladatot megoldani, ami az elképzelhető és nem pedig az optimális lehetőségek számbavételéről szól.

Bolondokháza

Alap:

Egy Elmeszanatóriumban négyféle emberrel találkozunk. Az egészségesek meg tudják különböztetni az igaz és hamis dolgokat, és ennek megfelelően mindig igazat mondanak. A betegek viszont mindent fordítva gondolnak, így tagadnak bármit, ami igaz és álítanak bármit, ami hamis. Másrészt a lakók egy része ápolt, a többiek orvosok. Sajnos lehetségesek egészséges ápoltak és beteg orvosok is. (Igyekeztem, hogy a szöveg politikailag korrekt legyen - nem használtam a "bolond" szót és hasonlókat).

1. (alapfeladat)

---

Az Elmeszanatóriumban András azt hiszi, hogy Bendegúz beteg, Bendegúz pedig, hogy András orvos. Eldönthető-e, hogy közülük ki egészséges vagy beteg, és ki orvos vagy ápolt?

---

Megoldás: I. Tegyük fel; hogy Andrásnak igaza van, akkor ő egyrészt egészséges, másrészt akkor jól hiszi, hogy Bendegúz beteg, tehát András nem orvos, ahogyan B. hiszi, hanem ápolt. András így egészséges ápolt, Bendegúz pedig beteg. De orvos vagy ápolt-e B.? Nem dönthető el. II. Tegyük fel, hogy Andrásnak nincs igaza, akkor ő egyrészt beteg, másrészt akkor rosszul hiszi, hogy B. beteg, tehát B. egészséges. Ekkor B. jól hiszi, hogy A. orvos. András így beteg orvos, Bendegúz pedig egészséges - de hogy orvos vagy ápolt, az nem dönthető el.

Összességében, mivel nem tudjuk, hogy András végül is igazat-mond-e vagy sem, nem tudhatunk meg semmi biztosat egyikükről sem.

Megjegyzés: a feladat tulajdonképpen, látszólag elég ügyetlen vagy értelmetlen, hiszen semmiféle megoldás nem "sül ki" belőle. Maga az alapszituáció mégis érdekes, azonkívül felhívhatja a figyelmet arra, hogy nem minden adatrendszer alkalmas értelmes döntés vagy információ kinyerésére. Maga az "eldönthetőség" kérdése is értékes, hiszen a szokványos logikafeladatok többsége automatikusan feltételezi a kiértékelhetőség (elvi választási lehetőség az igaz/hamis között) mellett az eldönthetőséget (a gyakorlati választási lehetőség az igaz/hamis között).