Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet

A Wikipédia logó.

Halmazelmélet

Senkinek sincs joga kiűzni minket abból a paradicsomból, amelyet Cantor teremtett számunkra. 

Mi a halmazelmélet?

A halmazelmélet a matematika egyik legújabb tudományága, s első közelítésben úgy határozható meg, mint a halmazoknak vagy osztályoknak – azaz tárgyak, dolgok sokaságainak – általános, matematikai tulajdonságainak vizsgálata.

Bővebben ld. a Bevezetőt.

A könyv didaktikai jellegéről

Munkánkban a halmazelmélet szokásos (axiomatikus szemléletű, viszont nem teljesen formalizált) „öszvér”-felépítését választjuk, mert szem előtt tartjuk a precizitás mellett a közérthetőség követelményét is. Egy matematikai elmélet precíz kifejtéséhez elengedhetetlen annak igen körültekintő tisztába tétele, hogy mit fogadunk el bizonyítás nélkül - vagyis a megfontolt axiomatizálás, ami a modern követelmények szerint egyúttal formalizálást is jelent; - ugyanilyen fontos viszont annak tisztázása, hogy amit elfogadunk, azt miért fogadjuk el, és hogy milyen alternatíváknak milyen következményei vannak. Az utóbbi fajta vizsgálatok viszont, kevés kivétellel, kívül esnek a puszta matematikai eszközökkel megtárgyalható anyag körén, pláne nem férnek hát a formalista keretek közé.

Axiomatikus jelleg és fél-formalizmus

Mindezek miatt egy „axiomatikus” jellegű halmazelméletet építünk fel; mert ez biztosítja a precizitást, a lehető legszilárdabb alapokat és ezek áttekintését, viszont axiómáink kezdetben informális, filozófiai axiómák vagy posztulátumok lesznek, és ahogy eszközeink bővülnek, egyre inkább át tudunk térni a formális nyelvre. Röviden: a halmazelméletet jelentéssel bíró elméletnek, vagyis a valóság egy darabja leírásának tekintjük és ilyen felépítését adjuk – legyen bár e valóság szubjektív, akár interszubjektív, akár objektív – nem pedig egy jelentés nélküli formális rendszernek. Bizonyításainkat sem formalizáljuk teljes mértékben. Az axiómáinkat is megpróbáljuk úgy beállítani, mint motivált és „a józan észre” hagyatkozó állításokat, s ahol úgy érezzük, ez nem lehetséges, hangsúlyozzuk az illető követelmény megállapodás- vagy posztulátum-jellegét és rövidebb (de még inkább: hosszabb) megjegyzések keretében vázoljuk az ismert alternatívákat. Egyszóval a halmazelmélet fogalmait és szemléletét próbáljuk átadni és nem csak azt, hogyan kell egy – hogy, hogy nem – „halmazelméletnek” mondott formális programnyelvet technikailag kezelni.

Az axiomatizálás azért jó, mert a jelenlegi tudásunk szerint elképzelhető legegzaktabb és legvitathatatlanabb módja annak, hogy eldöntsük, mi „igaz” és mi „nem igaz” egy elméletben (maguk az axiómák természetesen vitathatóak, de ha már le vannak fektetve, akkor a továbbiakban nem lehet szubjektív megítélés tárgya, hogy egy adott tudományos kijelentés érvényesnek tekinthető-e az axiómarendszer szerint vagy sem. Még akkor sem, ha egy tudományos kijelentés esetleg függetlennek bizonyulna az axiómarendszertől (mint a halmazelméletben az ún. kiválasztási axióma vagy a kontinuum-hipotézis), ez esetben is csak az lehet szubjektív megítélés tárgya, hogy a kérdéses kijelentést felvegyék-e az axiómák közé, vagy utasítsák el, tehát a kijelentés „abszolút, objektív igazságáról” kialakított vélemény lehet egyéni vélemény dolga, de a „relatív igazsága”, hogy az adott axiómarendszer szerint igaz-e vagy sem, még ekkor sem egyéni vélemény kérdése. Ilyenkor pláne értelmetlen azon vitázni, a kijelentés érvényes-e vagy sem az eredeti axiómarendszer szerint, hiszen erre a kérdésre az objektív válasz az, hogy nem lehet eldönteni [Ezt lehet olvasni például Totik Vilmostól is itt: http://www.termeszetvilaga.hu/kulonsz/k983/totik3.html. Vitázni rajta nem azért értelmetlen, mert a kérdés eldönthetetlen, hanem azért mert szabadon választható mindkét válasz. Ahogy a síkgeometriák esetében is egy ponton szabadon választhatunk 3-féle távolságmérés és 3-féle szögmérés között és így 9-féle síkgeometriából választhatunk. Egy közös alap felett. A közös alap esetében a szög és távolság mérése még nem eldöntött. Nem azért mert eldönthetetlen, hanem azért mert axiomatizálásra vár. A 9 eset között szabadon lehet választani, éppen melyik a hasznos. R esetében is szabadon lehet bővíteni a kontinuum hipotézissel vagy annak tagadásával. Szó sincs itt eldönthetetlenségről, csak az adott kérdés az adott ponton még nincs axiomatizálva. Az axiomatizálást pedig szabadon megtehetjük. Lásd a geometriai példát itt: I.M.Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria, Gondolat, 1985) Az, hogy egy kérdés független az axiómáktól nem azt jelenti, hogy eldönthetetlen, hanem azt hogy még nincs axiomatizálva, de szabadon megtehető. Mindkettő felépíthető, mint a 9 síkgeometria, s mindkettő használható a maga helyén. Bocs az ismétlésekért. Szabadon szerkeszthető, törölhető.]).

Az axiomatizálás egyik fő célja tehát a kijelentések igazságáról kialakított vélemények tudományos összehangolása, az igazság (vagy az arról kialakított vélemény) bizonyos interszubjektivizálása (interszubjektív := egy nagyobb közösség által elfogadott, igaznak tartott dolog) .

Mire jó ezzel szemben a formalizálás? Sok mindenre jó (noha sok hátránya is van), de e munkában legfontosabb szerepe a halmazelméletről szóló kijelentések értelmességének biztosítása lesz. Tehát: amíg az axiomatizálás egy (igaz, elégtelen, de a leghasználhatóbbnak bizonyuló) eszköz arra, hogy elválasszuk az „igazat” a „hamistól”, addig a formalizálás célja, hogy elválasszuk az értelmest, a használhatót az értelmetlentől.

Egyetemi szint

Igaz, hogy ha már ezt a törekvést megfogalmaztuk, akkor munkánk joggal kritizálható a való élettől való nagyfokú elvonatkoztatás, például a szemléltető példák tömkelegének elmaradása miatt. A halmazelmélet ilyen értelemben vett elemi szintű felépítését is fontos feladatnak érezzük, de nem itt és nem most; hanem egy másik munka, illetve a Wikijunior kezdeményezés hatókörébe utaljuk. Amíg ezek el nem készülnek, kénytelenek vagyunk a nyomtatott irodalomra hivatkozni s hagyatkozni (s ennek létezése némileg menti is a teljesen elemi dolgok elmaradását). A halmazelméletbe való elemibb szintű (szemléletes és nem-axiomatikus), de szakmailag korrekt bevezetés jó példáinak érezzük N. J. Vilenkin: A végtelen kutatása és Pr. Dr. Lilly Görke: Halmazok, relációk, függvények (Mengen, relationen, funktionen) c. könyveit. Ontológiáját (a halmazok létezésével kapcsolatos filozófiai álláspontját) tekintve, az itt tárgyalt elmélet elemi kifejtésének a Lilly Görke-féle könyv tekinthető, ennek felfogása hasonlít legjobban az NBGU elméletre az elemi stílusú munkák közül; Vilenkin ambíciózus és élvezetes munkáját, amely jóval több, mint tankönyv vagy szakköri füzet, emellett a nem-matematikusok számára is érdekes olvasmánynak tartjuk és ajánljuk mindenki figyelmébe.

Előismeretek?

Igyekszünk minél kevesebb előismeretre építeni, azonban - mivel nem mehetünk bele részletesen a matematikai logika felépítésébe - előnyös lehet, ha 1). az Olvasó ismeri ennek alapelemeit (a logikai alapműveleteket, és néhány alapvető következtetési módszert), meg legalább egy formális nyelvet (lehet ez akár számítógép-programozási nyelv is), és 2). ha rendelkezik némi gyakorlattal a formális mondatok dekódolásában, értelmezésében, illetve gondolataink formalizálásában.

Osztály-és egyedrealizmus

Közismert, hogy a halmazelméletnek igen fontos, mély és problémákban bővelkedő filozófiai, többek közt létfilozófiai (ontológiai) vonatkozásai vannak. Ezzel, illetve más, sokkal gyakorlatiasabb okokkal is összefüggésben, tulajdonképp többféle halmazelmélet létezik, ezek bizonyos részletekben ugyanúgy eltérnek egymástól, ahogyan az euklideszi, a projektív és a nemeuklideszi geometriák. A két legismertebb axiómarendszer, a Zermelo-Fraenkel-féle (ZFC-) és a Neumann-Gödel-Bernays-féle (NBG-) mellett számtalan alternatív axiómarendszer is létezik. Az itt tárgyalt felépítés valahol a valószínűleg legismertebb két felépítés, a ZFC- és a NGB-axiómarendszerek között helyezkedik el, az alapfogalmak bevezetésekor az ún. NBGU-elmélet osztályelméleti jellegű szemléletére alapozunk. Az ezen választások mögött rejlő motivációinkról a Bevezetőben részletesebben is írunk.

Tartalom

Bevezetés

• Halmazelmélet - Bevezetés

Alapok

1.  
   1. Alapok I. - Alapfogalmak - osztály, elem, egyenlőség
   2. Alapok II. - üres osztály, minimálelemek.
   3. Alapok III. - a Russell-paradoxon és következményei
   4. Alapok IV. - részhalmazok,
   5. Alapok V. - párok
   6. Alapok VI. - konnekció, operáció
   7. Alapok VII.
   8. Alapok VIII. - egyesítés (unió)
   9. Alapok IX. - direkt szorzat

---

Relációk

• Reláció
• Reláció inverze
• Relációk szorzata
• Bináris reláció
• Homogén bináris reláció
• Előrendezési relációk

Függvények

• Függvény
• Szürjektív és injektív függvény
• Bijektív függvények

Számosság

• Halmaz számossága
• Véges és végtelen halmazok
• A természetes számok halmaza
• Megszámlálható halmazok

Axiomatikus halmazelmélet

• A Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerekek
• A Neumann-Bernays-Gödel-axiómarendszer
• A Morse-Kelley axiómarendszer
• A Quine-axiómarendszer

Egyéb

• A feladatok megoldásai
• Tárgymutató
• Bibliográfia

Jegyzetek

Irodalom

• Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp., 1983; ISBN 963-18-5998-3 .
• Maurer Gyula - Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe. Dacia Kiadó, Kolozsvár, 1979.
• Komjáth Péter: A matematika alapjai I.. Egyetemi jegyzet (Pdf).
• Ruzsa Imre: Logikai szintaxis és szemantika I., Akadémiai kiadó, Bp., 1988.;
• Dr. Lilly Görke: Halmazok, relációk, függvények. Tankönyvkiadó, Bp., 1969.
• Vilenkin, N. Ja.: A végtelen kutatása (V poiszkah beszkonyecsnosztyi). Középiskolai Szakköri Füzet. Tankönyvkiadó, Bp., 1988. ISBN 963-18-0855-6 .

Lásd még

• Halmazelmélet (Wikipédia)
• Matematikai könyvespolc

Tovább Lap teteje