Szerkesztő:Gubbubu/Halmazrendszerek geometriája/Fogalommutató

Ábécé szerinti tartalomjegyzék A, Á B C Cs D Dz Dzs E, É F G Gy H I, Í J K L Ly M N Ny O, Ó Ö, Ő P Q R S Sz T Ty U, Ú Ü, Ű V W X Y Z Zs

Itt szerepelnek a Halmazrendszerek geometriája c. könyv fontos tételeinek és fogalmainak definícójának előfordulásai.

A, Á

• alaphalmaz
  • hipergráfé: ld. T / Tartóhalmaz / Hipergráfé
• alfabetikus írásmód: számok olyan írásmódja, amelynél betűk helyettesítik a számjegyeket, illetve számokat. Pl. ha a=0, b=2, c=3, akkor pl. lehet abc = (0)23. A betűsorok jelentése persze nemcsak a jegyek, hanem a „szavak” kódolásától függhet, azaz pl. két jegy egymás mellé írásának megállapodás szerinti jelentése is befolyásolja (az egymás mellé írás jelenthet egyszerű összeadást, vagy súlyozott - pl. helyiérték-rendszerű - összeadást, vagy szorzást stb.). Az ókorban sok népnél általános volt az alfabetikus számírás (pl. görögök).
• antilexikografikus rendezés: Szavak, szimbólumsorozatok olyan sorbarendezése, hogy fordított ábécésorrend szerint kövessék egymást, akár a szavak egy szótárban. Pl. az ab, d, abc, de, a, bc, ad szavak lexikografikus rendben így követik egymást: d, de, be, a, ad, ab, abc. Két szót úgy rendezünk antilexikografikusan, hogy megkeressük az első jegyet, amiben eltérnek ((pre)digresszor), és amelyiknél ez kisebb rendű, az a szó lesz maga nagyobb rendű (ha két szó egy adott betűig ugyanolyan, de a második hosszabb, akkor ez felfogható úgy, hogy ez első szóban azon a helyen „üres betű” áll, ez mindegyik „létező” szimbólumnál kisebb rendűnek számít antilexikografikus rendezéskor). Bizonyos értelemben „inverze” a lexikografikus rendezés, de nem egyszerűen arról van szó, hogy a szavak fordított sorrendben követik egymást, mint a lexikografikusnál (ez amiatt van, hogy az „üres betű” ebben a rendezésben is a legkisebb rendű, azaz a rövidebb szó itt is megelőzi az azonosan kezdődő hosszabbat, különben egyszerűen inverz lexikografikus rendezés lenne).

B

Bijektív függvény Venn-nyíldiagramja

• bijektív (függvény) v. bijekció: Rendkívül fontos matematikai fogalom, kölcsönösen egyértelmű f:A→B függvényt jelent, amely az A értelmezési tartomány minden elemének a B halmaznak pontosan egy (nem több és nem kevesebb) elemét felelteti meg, ezáltal egyértelműen "párosítva" bármely A-beli elemet rendre egy és csak egy B-belivel. A függvény címszónál említett színezési analógiával, az A elemeit úgy kell kiszínezni, hogy 1). minden A-beli elem színes legyen (balról teljesség) 2). Minden A-beli elem csak egyszínű lehet (jobbról egyértelműség) (ezek a függvényiség kritériumai); 3). Minden színt csak egy A-beli elem festésekor használhatunk (injektivitás vagy balról egyértelműség); 4). Minden színt föl kell használni a festéshez (szürjektivitás v. balról teljesség). Egy függvény tehát akkor és csak akkor bijektív, ha jobbról-balról teljes (bitotális) és jobbról-balról egyértelmű (kölcsönösen egyértelmű). Egy függvény akkor és csak akkor bijektív, ha ún. inverz relációja is függvény. Egy példa a bijektív leképezésekre: a sorbarendezések, ld. itt.

• Boole-vektor
  • hipergráfé: Halmazrendszerek és hipergráfok#Hipergráf Boole-vektora

Cs

• csúcs
  • hipergráfé: Halmazrendszerek és hipergráfok#Halmazrendszer, hipergráf
  • illeszkedési struktúráé: ld. P / pont / illeszkedési struktúráé

D

• direkt szorzat: Két halmaz (az ún. első és második tényezőhalmaz) direkt szorzata azon rendezett párok halmaza, melyek első tagja az első, második tagja a második tényezőhalmazból való. Ha A és B két halmaz, direkt szorzatuk jele A×B, A×B := {(a,b} |a∈A és b∈B}.
• Dirichlet-függvény (ejtsd kb.: „Dirislé függvény”): Halmazrendszerek és hipergráfok#Példák (karakterisztikus függvényekre):
• diszjunkt
  • diszjunkt halmazok: Illeszkedési struktúrák#Az illeszkedési struktúra fogalma
• diszkrét intervallum: Halmazrendszerek és hipergráfok#Diszkrét intervallumok. Megj. „diszkrét” a matematikában általában azt jelenti: „nem folytonos jellegű”, a diszkrét jellegű struktúrák végesek vagy végtelenek, de természetes számokkal megszámlálhatóak, míg a nem-diszkrétek kontinuum számosságúak (csak valós számokkal számlálhatóak meg), és elemeik egymáshoz képest „sűrűn” helyezkednek el. Diszkrét struktúrára példa a természetes számok halmaza a számegyenesen, nem-diszkrétre maga a valós számegyenes.

E, É

• él
  • hipergráfé: Halmazrendszerek és hipergráfok#Halmazrendszer, hipergráf

F

• Fermat-számok: a $2^{2^{n}}+1$ alakú számok sorozata, ahol n∈N (N= 0,1,2,3,...). Az első néhány Fermat-szám: 3, 5, 17, 257, 65537, 641, 6700417, 274177, ...
• függvény: Két tetszőleges halmaz, A és B (A az értelmezési tartomány, B az értéktartomány vagy képhalmaz) direkt szorzatának olyan részhalmaza, azaz olyan (a,b) alakú párok halmaza, ahol a∈A és b∈B, amelyre teljesül:
  • 1. minden a elemhez van olyan b, hogy (a,b)∈ν (balról teljesség vagy bal(ról)totalitás tulajdonsága)
    2. de másik ilyen u' már nincs, azaz ha (n,u),(n,u')∈ν akor u = u'; (jobbról egyértelműség vagy jobbunicitás tulajdonsága).
  • Egy szemléletes analógia talán megkönnyíti ezen tulajdonságok megértését. Ha az első, A halmaz elemeit színteleneknek, a második, B halmaz elemeit meg festhető színeknek képzeljük, akkor az 1. tulajdonság azt jelenti, hogy minden A-beli elemet ki kell színezni, míg a második tulajdonság, hogy minden a-beli elem csak egyszínű lehet (nincs viszont kikötve, hogy minden színt fel kell használni, sem az, hogy két A-beli elem ne lehessen ugyanolyan színű).

H

• halmazrendszer: Halmazrendszerek és hipergráfok#Halmazrendszer, hipergráf 1. def.; ld. még az alatta lévő megjegyzést is
• Hammnig-rendezés: (ejtsd kb. „hemming rendezés”) Egy kitüntetett betűt (legyen 0 nulla) tartalmazó ábécéből képezett szavak, szimbólumsorozatok olyan sorbarendezése, hogy a legkevesebb nem-kitüntetett betűt tartalmazóak („a legkisebb Hamming-súlyúak”) legyenek legelöl, azután az eggyel több betűt tartalmazóak, stb.; az azonos súlyú szavakat pedig természetes rendbe soroljuk.
• Hamming-súly: (ejtsd kb. „hemming súly”)
  • részhalmazé: Egy U véges halmaz valamely R részhalmazának, illetve ennek karakterisztikus vektorának Hamming-súlya a ${\mbox{ }}_{h_{U}(R)\ :=\ \sum _{u\in U}\chi _{R}\left(u\right)=|R|}$ szám, azaz elemeinek száma.
  • vektoré: Egy tetszőleges véges dimenziós vektor Hamming-súlya a nemnulla koordinátáinak száma.
• hatványhalmaz: Halmazrendszerek és hipergráfok#Hatványhalmaz
• Heaviside-függvény (ejtsd kb.: „Heviszájd függvény”)
  • módosított: Halmazrendszerek és hipergráfok#Példák (karakterisztikus függvényekre):
• hiperél: ld. E,É / él / hipergráfé
• hipergráf: Halmazrendszerek és hipergráfok#Halmazrendszer, hipergráf
  • történetükről: Halmazrendszerek és hipergráfok#Bevezetés
  • üres: ld. Ü, Ű / Üres hipergráf

I, Í

• illeszkedési struktúra: Illeszkedési struktúrák#Az illeszkedési struktúra fogalma
• incidencia: (lat.) illeszkedés, az in- (be(le)-) és caedo (vágok, esem) szavakból
• incidenciastruktúra: ld. I, Í / illeszkedési struktúra

K

• karakterisztikus függvény:
  • hipergráfé: Egy U feletti hipergráf a ℘(U) hatványhalmaz egy részhalmaza, így mint utóbbi halmaz feletti részhalmaznak, részhalmaznak létezik karakterisztikus függvénye ℘(U) felett. Egyszerűen ezt nevezzük az U feletti hipergráf karakterisztikus függvényének.
  • illeszkedési struktúráé: Illeszkedési struktúrák#Illeszkedési struktúra karakterisztikus függvénye
  • részhalmazé: Halmazrendszerek és hipergráfok#Részhalmaz karakterisztikus függvénye
• karakterisztikus vektor: Halmazrendszerek és hipergráfok/Részhalmaz karakterisztikus vektora

L

• lexikografikus rendezés: Szavak, szimbólumsorozatok olyan sorbarendezése, hogy ábécésorrend szerint kövessék egymást, akár a szavak egy szótárban. Pl. az ab, d, abc, de, a, bc, ad szavak lexikografikus rendben így követik egymást: a, ab, ad, abc, be, d, de. Két szót úgy rendezünk lexikografikusan, hogy megkeressük az első jegyet, amiben eltérnek ((pre)digresszor), és amelyiknél ez kisebb rendű, az a szó lesz maga is kisebb rendű (ha két szó egy adott betűig ugyanolyan, de a második hosszabb, akkor ez felfogható úgy, hogy ez első szóban azon a helyen „üres betű” áll, ez mindegyik „létező” szimbólumnál kisebb rendűnek számít lexikografikus rendezéskor). Bizonyos értelemben megfordítása (bár nem egyszerűen inverz relációja) az antilexikografikus rendezés. A bármely (rögzített) alapú hagyományos számrendszerekben felírt számok esetében nem esik egybe a lexikografikus és a természetes (nagyság szerinti) rend, pl. lexikografikus rend szerint az 1 után a 10 következik, aztán a 100; míg nagyságrendileg az egy után 2 jön, aztán pedig 3. Ha azonban azonos hosszúságú szavakra korlátozódunk, akkor a lexikografikus és a természetes rendezés ugyanazt a sorrendet szolgáltatja.

M

• mátrix: Szemléletesen leírva, k×n-es típusú mátrixnak nevezünk egy k db. sorba és n db. oszlopba rendezett, tehát k·n darab kis tárolóhelyet (cellát) tartalmazó táblázatot. Matematikailag szigorúbban is definiálható, de a precíz definíció számunkra teljességgel érdektelen. A fogalom első előfordulása: Illeszkedési struktúrák - az incidenciamátrixokról szóló szakaszok kezdete.
• m(R): ld. R / rendszám: részhalmazé

O, Ó

• o(R): ld. R / rendszám: részhalmazé .

P

• pont
  • illeszkedési struktúráé: Illeszkedési struktúrák#Az illeszkedési struktúra fogalma

R

• rend
  • hipergráfé: Halmazrendszerek és hipergráfok#Halmazrendszer, hipergráf
• rendezett pár: Az a,b elemekből képezett rendezett páron az { {a}, {a,b} } halmazt értjük. Jele <a,b> is lehet, de gyakoribb az egyszerűbb (a,b) jelölés. Az a-t a rendezett pár első, b-t a második koordinátájának vagy tagjának nevezzük. Két halmaz elemeiből képezhető összes olyan rendezett párok halmaza, melyek első tagja az első, második tagja a második halmazból való, a két halmaz direkt szorzata.
• rendszám:
  • részhalmazé: 1. Halmazrendszerek és hipergráfok#Hipergráf Boole-vektora; 2.: Halmazrendszerek és hipergráfok#Tétel:; (a két definíció ugyanaz)
  • hipergráfé:
• részhalmaz: definiálatlan fogalom, a hozzá kapcsolódó fogalmak: Halmazrendszerek és hipergráfok#Részhalmaz, hatványhalmaz

S

• sorbarendezés: Halmazrendszerek és hipergráfok#Sorbarendezések. Algoritmikus sorbarendezésekre példák a lexikografikus, az antilexikografikus, a Gray-féle, a Hamming-féle, és a természetes rendezés.
• strukturális szerkezet: ld. Sz / szerkezet
• súly:
  • részhalmazé: Egy véges U halmaz valamely R részhalmazának súlyának nevezzük a ${\mbox{ }}_{w_{U}(R)\ :=\ {\frac {1}{|U|}}\sum _{u\in U}\chi _{R}\left(u\right)}$ számot.

SZ

• számosság: Halmazrendszerek és hipergráfok#Sorbarendezések
• szerkezet (tkp. „strukturális szerkezet)”
  • hipergráfé: Halmazrendszerek és hipergráfok#Halmazrendszer, hipergráf

T

• tartóhalmaz:
  • hipergráfé: Halmazrendszerek és hipergráfok#Halmazrendszer, hipergráf; 2. def.
• teljes hipergráf: Halmazrendszerek és hipergráfok#Példák (halmazrendszerekre és hipergráfokra): 2. példa
• természetes rendezés: Szavak, szimbólumsorozatok olyan sorbarendezése, hogy úgy kövessék egymást, mintha növekvő nagyságú számok lennének (a legkisebb rendű betűnek 0-t, a következőnek 1-et, az azutáninak 2-t stb. feleltetünk meg, aztán nagyság szerinti sorba rendezünk). Szabályai: Két szót úgy rendezünk természetes sorba, hogy megkeressük az első olyan jegyet (betűt), amelyre igaz, hogy a szavak valamelyikének nincs már ott betűje, de a megelőző jegyek egyik szóban sem voltak még üresek (deszektor); 1). ha a másik szónak sincs ott betűje (azonos hosszúak), akkor a két szót lexikografikusan rendezzük (megkeressük az első eltérő jegyet, és a kisebbik jegyet tartalmazó szó kisebb rendű lesz) 2). ha a másik szónak van ott betűje, akkor az lesz a nagyobb rendű, azaz az „üres betű” bármely „létező” (a szavak abc-jében megtalálható) betűnél kisebb rendű.
• típus
  • hipergráfé: Halmazrendszerek és hipergráfok#Halmazrendszer, hipergráf
  • illeszkedési struktúráé: Illeszkedési struktúrák#Az illeszkedési struktúra fogalma
• triviális hipergráfok: Halmazrendszerek és hipergráfok#Példák (halmazrendszerekre és hipergráfokra): 2. példa

U, Ú

• univerzális hipergráf: ld. T / teljes hipergráf

Ü, Ű

• üres hipergráf: Halmazrendszerek és hipergráfok#Példák (halmazrendszerekre és hipergráfokra): 2. példa

V

• vektor: Egy A halmaz feletti n-dimeziós vektor az ${\mbox{ }}_{\underbrace {A\times A\times ...\times A} _{n\ db.\ \times }}$ halmaz (egy n-tényezős direkt szorzat) egy részhalmaza, tehát lényegében egy ( α₁, α₂, ..., α_n) rendezett n-es; a fogalom végtelen n-ekre is kiterjeszthető a függvény fogalmának felhasználásával. Oszlopvektorról beszélünk, ha az elemeket fentről lefelé függőlegesen írjuk (ilyenkor nem kell vesszőket használni), sorvektorról, ha az elemeket vízszintesen írjuk, mint az előbb.
• Venn-diagram: Halmazrendszerek geometriája/Halmazrendszerek és hipergráfok cikk eleje.
• véges halmaz: Halmazrendszerek és hipergráfok#Sorbarendezések

Z

• zászló: Illeszkedési struktúrák#Az illeszkedési struktúra fogalma
• zéróhipergráf: ld. Ü, Ű / üres hipergráf

Egyéb

• ℘(U) ^{(ld. még: H / Hatványhalmaz)}: Halmazrendszerek és hipergráfok#Diszkrét intervallumok#Hatványhalmaz
• |·| ^{(ld. még: Sz / Számosság)}: Halmazrendszerek és hipergráfok#Diszkrét intervallumok#Diszkrét intervallumok
• ( ν(1) ν(2) ... ν(n) ) az U = {u₁, u₂, ...u_n } n-elemű véges halmaz egy ν sorbarendezésének rövidítése (&nu.(i)∈U ha i∈1,n).

---

---

Lap teteje

---