2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia


A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1960-ban, Sinaiában (Románia) rendezték, s öt ország 40 versenyzője vett részt rajta.

Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével.

Megoldás

Milyen valós  -ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

 .

Megoldás

Az   derékszögű háromszög   hosszú   átfogóját   egyenlő szakaszra osztottuk (  páratlan pozitív egész). Jelöljük  -val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik  -ból. Legyen   az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy

 .

Megoldás

Második nap

szerkesztés

Adott az   háromszög  -ból és  -ből induló   ill.   magassága és az  -ból induló   súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget.

Megoldás

Vegyük az   kockát (ahol   pontosan   fölött van).

  Mi a mértani helye az   szakaszok felezőpontjainak, ahol   az  ,   pedig a   lapátló tetszőleges pontja?
  Mi a mértani helye azon   pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen   szakaszon úgy, hogy  ?

Megoldás

Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen   a kúp,   a henger térfogata.

  Bizonyítsuk be, hogy  .
  Keressük meg a legkisebb  -t, amire  , majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet   minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak.

Megoldás

Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja   illetve  , magassága pedig  .

  Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon   pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak.
  Számítsuk ki   távolságát a száraktól.
  Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen   pont?

Megoldás