1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Címlap (Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák)

–

Következő lap (2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)

Az 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1959-ben, Brassóban (Románia) rendezték, s hét ország 52 versenyzője vett részt rajta.

Feladatok

Első nap

1.

Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is $n$ – a következő tört nem egyszerűsíthető: ${\frac {21n+4}{14n+3}}$

Megoldás

2.

Milyen $x$ valós számokra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

$a)$ ${\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}={\sqrt {2}}$

$b)$ ${\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}=1$

$c)$ ${\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}=2$

Megoldás

3.

Tudjuk, hogy

$a\cos ^{2}(x)+b\cos(x)+c\;=\;0$

Mutassunk másodfokú egyenletet $\cos 2x$-re úgy, hogy együtthatói csak az $a,b,c$ számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be $a=4$, $b=2$ és $c=-1$-et.

Megoldás

Második nap

4.

Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója, és tudjuk, hogy a z átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza egyenlő a két befogó hosszának mértani közepével.

Megoldás

5.

Az $AB$ szakaszon mozog az$M$ pont. Az $AM$ és $MB$ szakaszok fölé az $AB$ egyenes ugyanazon oldalára az $AMCD$ és a $BMEF$ négyzetet emeljük, s megrajzoljuk ezek körülírt körét is. A két kör $M$-ben és $N$-ben metszi egymást.

Mutassuk meg, hogy az $AE$ és a $BC$ egyenes is átmegy az $N$ ponton. Mutassuk meg, hogy minden $M$-re az $MN$ egyenes átmegy egy állandó ponton. Milyen utat jár be a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontja?

Megoldás

6.

A $P$ és $Q$ sík egymást a $p$ egyenesben metszi, és $A$ a $P$ síknak, $C$ a $Q$ síknak olyan pontja, amely nincs rajta $p$-n. Szerkesszük meg azt az $ABCD$ húrtrapézt ($AB\|CD$), melynek $B$ csúcsa $P$-n, $D$ csúcsa a $Q$ síkban van, s amelybe kört írhatunk.

Megoldás

Címlap (Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák)

–

Következő lap (2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia)