1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia


Az 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1959-ben, Brassóban (Románia) rendezték, s hét ország 52 versenyzője vett részt rajta.

Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is   – a következő tört nem egyszerűsíthető:  

Megoldás

Milyen   valós számokra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

   
   
   

Megoldás

Tudjuk, hogy

 

Mutassunk másodfokú egyenletet  -re úgy, hogy együtthatói csak az   számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be  ,   és  -et.

Megoldás

Második nap

szerkesztés

Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója, és tudjuk, hogy a z átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza egyenlő a két befogó hosszának mértani közepével.

Megoldás

Az   szakaszon mozog az  pont. Az   és   szakaszok fölé az   egyenes ugyanazon oldalára az   és a   négyzetet emeljük, s megrajzoljuk ezek körülírt körét is. A két kör  -ben és  -ben metszi egymást.

Mutassuk meg, hogy az   és a   egyenes is átmegy az   ponton. Mutassuk meg, hogy minden  -re az   egyenes átmegy egy állandó ponton. Milyen utat jár be a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontja?

Megoldás

A   és   sík egymást a   egyenesben metszi, és   a   síknak,   a   síknak olyan pontja, amely nincs rajta  -n. Szerkesszük meg azt az   húrtrapézt ( ), melynek   csúcsa  -n,   csúcsa a   síkban van, s amelybe kört írhatunk.

Megoldás