1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Az 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1959-ben, Brassóban (Románia) rendezték, s hét ország 52 versenyzője vett részt rajta.
Feladatok
szerkesztésElső nap
szerkesztés1.
szerkesztésMutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is – a következő tört nem egyszerűsíthető:
2.
szerkesztésMilyen valós számokra lesznek igazak az alábbi egyenletek:
3.
szerkesztésTudjuk, hogy
Mutassunk másodfokú egyenletet -re úgy, hogy együtthatói csak az számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be , és -et.
Második nap
szerkesztés4.
szerkesztésSzerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója, és tudjuk, hogy a z átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza egyenlő a két befogó hosszának mértani közepével.
5.
szerkesztésAz szakaszon mozog az pont. Az és szakaszok fölé az egyenes ugyanazon oldalára az és a négyzetet emeljük, s megrajzoljuk ezek körülírt körét is. A két kör -ben és -ben metszi egymást.
Mutassuk meg, hogy az és a egyenes is átmegy az ponton. Mutassuk meg, hogy minden -re az egyenes átmegy egy állandó ponton. Milyen utat jár be a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontja?
6.
szerkesztésA és sík egymást a egyenesben metszi, és a síknak, a síknak olyan pontja, amely nincs rajta -n. Szerkesszük meg azt az húrtrapézt ( ), melynek csúcsa -n, csúcsa a síkban van, s amelybe kört írhatunk.
