1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/1. feladat

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

2. feladat

Az első olimpia első feladatát Lengyelország javasolta.

A feladat:

Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is $n$ – a következő tört nem egyszerűsíthető: ${\frac {21n+4}{14n+3}}$

Megoldás

Tegyük fel, hogy valamilyen pozitív $k$ számmal egyszerűsíthető a tört, azaz $k|21n+4$ (1) és $k|14n+3$ (2). Ha két számot oszt $k$, akkor osztja a különbségüket is, azaz $k|21n+4-(14n+3)=7n+1$ (3). Továbbá (2)-ből és (3)-ból $k|14n+3-(7n+1)=7n+2$ (4). Ekkor (3)-ból és (4)-ből $k|7n+2-(7n+1)=1$.

Ezek szerint $k$ csak 1 lehet, eggyel pedig nem egyszerűsíthetünk, tehát nem tudunk egyszerűsíteni, az állítást beláttuk.

Lásd még

• Euklideszi algoritmus

Források

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

2. feladat