1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/1. feladat

Az első olimpia első feladatát Lengyelország javasolta.[1]


A feladat:

Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is – a következő tört nem egyszerűsíthető:

Tegyük fel, hogy valamilyen pozitív   számmal egyszerűsíthető a tört, azaz   (1) és   (2). Ha két számot oszt  , akkor osztja a különbségüket is, azaz   (3). Továbbá (2)-ből és (3)-ból   (4). Ekkor (3)-ból és (4)-ből  .

Ezek szerint   csak 1 lehet, eggyel pedig nem egyszerűsíthetünk, tehát nem tudunk egyszerűsíteni, az állítást beláttuk.

Lásd még

szerkesztés
  1. Mathlinks: IMO feladatok és szerzőik