1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/2. feladat

Ezt a problémát Románia javasolta kitűzésre.[1]

A feladat:

Milyen valós számra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

Megoldás Szerkesztés

A   egyenlet megoldásához először is emeljük négyzetre mindkét oldalt. (Ez ekvivalens átalakítás, mivel mindkettő pozitív.) Ebből rendezés után a következőt kapjuk:  . A gyök alatt  , található, aminek gyöke (attól függően, hogy melyik pozitív)   vagy  . Tegyük fel, hogy   (  legalább  , mivel különben nem lenne értelme a  -nek). Ekkor az egyenlet:  , azaz  . Ha  , akkor az egyenlet:  . Tehát  , így az   egyenletet pontosan az   értékek elégítik ki, a   egyenletnek viszont egyik esetben sem lesz megoldása, vagyis nincs annak megfelelő  . Még meg kell találnunk a harmadik egyenlet gyökét, azaz amikor  . Ekkor  , vagyis  , tehát  . Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez jó megoldás, a bizonyítást befejeztük.

Források Szerkesztés

  1. Mathlinks: IMO feladatok és szerzőik