1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/2. feladat

1. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

3. feladat

Ezt a problémát Románia javasolta kitűzésre.

A feladat:

Milyen $x$ valós számra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

$a)$ ${\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}={\sqrt {2}}$

$b)$ ${\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}=1$

$c)$ ${\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}=2$

Megoldás

A ${\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}=a$ egyenlet megoldásához először is emeljük négyzetre mindkét oldalt. (Ez ekvivalens átalakítás, mivel mindkettő pozitív.) Ebből rendezés után a következőt kapjuk: $2x+2{\sqrt {x^{2}-2x+1}}=a^{2}$. A gyök alatt $(x-1)^{2}$, található, aminek gyöke (attól függően, hogy melyik pozitív) $x-1$ vagy $1-x$. Tegyük fel, hogy ${\frac {1}{2}}\leq x\leq 1$ ($x$ legalább ${\frac {1}{2}}$, mivel különben nem lenne értelme a ${\sqrt {2x-1}}$-nek). Ekkor az egyenlet: $2x+2-2x=2=a^{2}$, azaz $a={\sqrt {2}}$. Ha $x>1$, akkor az egyenlet: $2<4x-2=a^{2}$. Tehát $a>{\sqrt {2}}$, így az $a)$ egyenletet pontosan az ${\frac {1}{2}}\leq x\leq 1$ értékek elégítik ki, a $b)$ egyenletnek viszont egyik esetben sem lesz megoldása, vagyis nincs annak megfelelő $x$. Még meg kell találnunk a harmadik egyenlet gyökét, azaz amikor $a=2$. Ekkor $4x-2=4$, vagyis $4x=6$, tehát $x={\frac {3}{2}}$. Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez jó megoldás, a bizonyítást befejeztük.

Források

1. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

3. feladat