1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia/3. feladat

2. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

4. feladat

Ezt a problémát Magyarország javasolta.

A feladat:

Tudjuk, hogy

$a\cos ^{2}(x)+b\cos(x)+c\;=\;0$

Mutassunk másodfokú egyenletet $\cos 2x$-re úgy, hogy együtthatói csak az $a,b,c$ számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be $a=4$, $b=2$ és $c=-1$-et.

Megoldás

Ismert, hogy $\cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}$, és így ennek az egyenletnek a négyzete is áll: $\cos ^{4}x={\frac {1+2\cos 2x+\cos ^{2}x}{4}}$. Most nézzük az eredeti egyenletünket. Egy olyan egyenletet akarunk belőle alkotni, amiben csak $\cos ^{4}x$-es, $\cos ^{2}x$-es, valamint konstans tagok szerepelnek. Ehhez rendezzük át a következő módon: $b\cos x=-a\cos ^{2}x-c$, majd pedig emeljük négyzetre: $b^{2}\cos ^{2}x=a^{2}\cos ^{4}x+ac\cos ^{2}x+c^{2}$. Most behelyettesítve $\cos ^{4}x$ és $\cos ^{2}x$ helyére, s a kövekezőt kapjuk: $a^{2}{\frac {1+2\cos 2x+\cos ^{2}2x}{4}}+(2ac-b^{2}){\frac {1+\cos 2x}{2}}+c^{2}=0$. Azaz ezt rendezve kapjuk, hogy ${\frac {a^{2}}{4}}\cos ^{2}2x+{\frac {a^{2}+2ac-b^{2}}{2}}\cos 2x+{\frac {a^{2}+4ac-2b^{2}+4c^{2}}{4}}=0$, ami a feladat feltételeinek megfelelő másodfokú egyenlet, s következik az eredetiből. Most behelyettesítve a megadott értékeket a következő egyenletet kapjuk: $4\cos ^{2}2x+2\cos 2x-1=0$. Azaz ugyanazt a másodfokú egyenletet kaptuk vissza, mint a helyettesítés előtt ($4\cos ^{2}x+2\cos x-1=0$), csak épp az ismeretlen $\cos x$ helyett $\cos 2x$ lett.

Források

2. feladat

–

1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

–

4. feladat