Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Alapfogalmak

• Témák jegyzéke
• Előző fejezet (Bevezetés)
• Következő fejezet (Az üres osztály)

Gondolkodásunk, szemléletünk dolgait sokszor soroljuk csoportokba, osztályozzuk. Ezt az alapvető műveletet a matematikusok az osztály, illetve a halmaz fogalmában kívánják megragadni.

Alapfogalmak rögzítése

A matematika a legtöbb általa felhasznált fogalmat szigorúan definiálja , úgy, hogy pontosan eldönthető legyen bármely matematikailag értelmes dologról, hogy a fogalom körébe tartozik-e vagy sem. Ugyanakkor minden fogalmat nem lehetséges definiálni, hiszen ez csak még alapvetőbb fogalmak segítségével történhetne. Ilyenek általában nincsenek, de ha volnának; az „egyszerűbb” fogalmakra való visszavezetést a végtelenségig kellene folytatni.

Ezért néhány fogalmat ún. alapfogalomként szoktunk elfogadni, ezeket nem kell definiálni. Hogy a halmazelmélet számára miket fogadunk el alapfogalomnak, ezen alfejezet tárgyalja.

Ha nem is definiálunk valamit szigorúan, attól még szükséges értelmes magyarázatot adni róla. Jelen fejezet épp ezt próbálja: értelmesen elmagyarázni a legfontosabb alapfogalmakat, és tisztázni az esetleg felmerülő, főképp filozófiai jellegű problémákat. Ezek a magyarázatok szigorúan véve nem tekinthetőek matematikai definíciónak - legfeljebb filozófiai értelemben vehetők annak - mert az alapfogalmakból vagy más, definiált fogalmakból nem halmazelméleti műveletek, konstrukciók felhasználásával keletkeztek.

Legalább öt alapfogalmunk lesz: az egyedé, az osztályé, és az ∈ „eleme” relációé; nem tartozik viszont közéjük az osztályegyenlőség = jele; ugyanis definiált fogalomnak számít, noha jelen, alapfogalmakról szóló alfejezet tárgyalja (de csak azért szerepeltettük az alapfogalmak közt, mert az „osztály” fogalmának szerves része ez is). Még kettő biztos lesz, az egyik az intenzionális osztályképző operátor; a másik az egyed-egyenlőségé (illetve lesz néhány más nem halmazelméleti, hanem logikai fogalom, de utóbbiakat nem szokás a halmazelmélet alapfogalmainak tekinteni).

Lesz egy olyan alapfogalmunk is (a konnekcióé, amik tkp. az ún. relációk lesznek), amelyhez szükséges lesz egy csak később definiálható fogalom (a páré). Így csak később kerül tárgyalásra.

Az alapfogalmakra vonatkozó követelményeket axióma formájában mondjuk ki. Az axióma olyan matematikai állítás, amit bizonyítás nélkül elfogadunk igaznak (hasonló okok miatt, mint amelyek az alapfogalmak definiálásának elhagyására késztetnek: az axiómákhoz már nincsenek vitathatatlanul „alapvetőbb” tételek, ha mindig volnának, akkor az „alapvetőbb” állításokra való visszavezetés sosem fejeződhetne be). A lentebb felsorolt axiómák egy része ún. gyenge axióma, ezeket didaktikai okokból kimondjuk, elfogadjuk; de később (többet követelő állításokkal helyettesítve) „kidobjuk”. Ezeket a „GY” betűjellel jelöljük meg kimondásuk előtt. Kimondásuk pusztán az Olvasó kényelmét szolgálja, ti. hogy ne kelljen három-négy fejezetet előzetesen átfutni a bevezetés végigrágása előtt. A gyenge axiómák kimondásakor vigyázni kell, nehogy nélkülözhetetlennek bizonyuljanak olyasmi le- vagy bevezetéséhez, ami szükséges a megfelelő erős axióma kimondásához (hisz ez esetben maguk sem gyenge, hanem erős axiómák). A nem-gyenge axiómákat az A betűjellel és sorszámal jelöljük.

Egyed, osztály, elem(e)

A dolgokat, amik gondolkodásunkban, szemléletünkben megjelennek és amiket egymástól jól megkülönböztethetőnek számítunk, két jól elkülönülő csoportra fogjuk osztani: 1). egyedekre és 2). sokaságokra, avagy osztályokra.

Egyeden, vagy atomi individuumon, röviden atomon olyan dolgot fogunk érteni, amely nem sokaság, tehát amelynek nincsenek elemei .

Sokaságon vagy osztályon jól körülhatárolt, mindenki számára jól meghatározott és megkülönböztethető dolgok, az osztály elemeinek csoportjait értjük. Az elemek lehetnek egyedek, de lehetnek más sokaságok is. Egy sokaságot akkor és csak akkor tekintünk létezőnek , azaz osztálynak, ha érvényes:

(A0) az egyértelmű meghatározottság axiómája:

Egy jól meghatározott dolgot csak akkor tarthatunk osztálynak, ha egyértelműen eldönthető bármely más dologról, hogy 1). eleme-e ennek az osztálynak, vagy sem; 2). hogy tartalmazza-e ezt az osztályt elemként, vagy sem.

Ezt az axiómát nem tudjuk szimbólumnyelvre átírni . Ezért – de egyébként is, fontossága miatt – tekintsük az osztály mint alapfogalom „definíciója”, leírása szerves részének.

A „meghatározottsági” axióma egyrészt a szubjektivitást próbálja kizárni. Nevezetesen, a „szép virágok sokasága” pl. azért nem osztály, mert a „szép” az egy szubjektív minősítés, és ezáltal nem dönthető el egyértelműen bármely szóba jövő dologról, mondjuk egy rózsáról, hogy szép-e, tehát hogy eleme-e a mondott sokaságnak . Az axiómának ugyanakkor szerepe van magának az osztályelméletnek a megszületésében is .

Jelölések

Az osztályokat a latin ABC írott vagy nyomtatott nagybetűivel fogjuk jelölni. Pl. A,B,C, ..., Z, ${\mathcal {O}},{\mathcal {U}}$ stb. Az osztályok elemeit latin kisbetűkkel jelöljük: a,b, ..., x,y,z. Eltérés e jelölésmódtól lehetséges.

Azt, hogy az a elem „benne” van az A osztályban, azaz eleme annak, így jelöljük:

a∈A.

Ha az a∈A állítás nem teljesül e két dologra, annak jelölése lehet ¬(x∈A), de ennek rövidítéseként szokásosabb a következő jelölés:

a∉A.

Azt, hogy két dolog egyenlő, a szokásos módon jelöljük:

x=y.

ugyanígy a szokott jelet használjuk ennek tagadására, vagyis a ¬(x=y) állítás rövidítésére:

x≠y.

Az egyenlőségi axióma és az osztályegyenlőség

(A1) Az egyenlőségi axióma

Két osztályt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek , ha elemeik megegyeznek, csak az elemek egyenlősége számít és semmi más (pl. ha elemeik felsorolhatóak, a felsorolás sorrendje közömbös), azaz egy osztályt pontosan az elemei határoznak meg. Ez utóbbi tulajdonságot egyenlőségi axiómának nevezzük.

Formális nyelven:

A=B :⇔ ∀x:(x∈A ↔ x∈B)

Az „egy osztályt pontosan az elemei határoznak meg” („meghatározottsági” axiómaforma) és a „két osztály akkor és csakis akkor egyenlő, ha elemeik egyeznek” („egyenlőségi” axióma formája) nyilvánvalóan(?) ugyanannak a dolognak a kétféle megfogalmazása. Ha egy osztályt meghatároznak az elemei, és csakis az elemei; akkor ugyanezek az elemek nyilván ugyanazt az osztályt határozzák meg, és fordítva.

Osztályok megadása

Osztályokat - legalább - kétféle módon adhatunk meg .

1. Extenzionális megadás: felsoroljuk az osztály összes elemét. Az elemek neveit vesszőkkel választjuk el, a felsorolást pedig kapcsos zárójelek közé zárjuk. Pl. A := {Pityu, Bözsi, Icu}. Persze végtelen sok elem esetében ez nehézséget okoz. Az extenzionális megadással nem vezettünk be új alapfgogalmat (a { ... } jelnek megfelelő műveletet), nemsokára ugyanis definiáljuk véges sok (tkp. két) elemre.
2. Intenzionális megadás: Megadunk egy olyan tulajdonságot, ami jellemző a halmaz elemeire és csak azokra (karakterisztikus tulajdonság). Ha ezt a tulajdonságot a T betűvel szimbolizáljuk, és T(x)-szel pedig azt, hogy az x elemre jellemző ez a tulajdonság, akkor a T tulajdonságú elemeket tartalmazó H halmaz megadását a következőképp formalizálhatjuk:

H := {x | T(x)};

olv. pl. "H definíció szerint azon dolgok osztálya, melyekre igaz a T tulajdonság". Pl. H := {x | x+1=3} azt jelenti, hogy a H az összes olyan dolog osztálya, amelyekhez 1-et adva 3-at kapunk. A T tulajdonságot persze olyan formában kell megfogalmaznunk, hogy teljesüljön a meghatározottsági tulajdonság az osztályra, azaz minden elem vagy eleme legyen az osztálynak, vagy nem. Ennek szükséges és elégséges feltétele pedig az, hogy bármely dolog esetében egyértelműen eldönthető legyen, a dologra igaz-e a T tulajdonság vagy sem (hiszen ha eldönthető, akkor az is eldönthető, hogy x eleme-e a megfelelő osztálynak, mert ha igaz, eleme; ha meg nem igaz, akkor nem eleme). Ha a T tulajdonság semmiképp sem mutatkozik ilyennek, akkor nem bír osztályalkotó erővel, azaz ilyen esetben H nem egy osztály.

Konstruktív vagy genetikus megadás: már létező osztályokból az e munkában megengedett műveletek eredményeképp új osztályok készíthetőek. Ez persze az intenzionális megadás egy rejtett formája, hiszen az osztályműveletek definíciói végső soron „relatív” intenzionális definíciók: nem egy előre adott osztályt jelölnek ki egy T tulajdonsággal az összes dolgok közül; hanem végső soron fiktív osztályok fiktív elemeiből teszik ugyanazt (pl. az „A∪B := ...” művelet definíciójában A,B nem adott elemek adott osztályai, hanem osztály-jelölő névmások, változók). Konkrét esetben viszont, ha argumentumként adottak a művelet rögzített kiinduló osztályai, akkor ez máris konkrét elemek és egy konkrét osztály kijelölését jelenti; és valóban, ilyenkor a genetikus definíció intenzionálissá alakítható a műveleteket definiáló tulajdonságok mint karakterisztikus tulajdonságok felhasználásával. Az intenzionális halmazképzés operátora felfogható, mint egy új alapfogalom, noha hagyományosan nem szokás a halmazelmélet alapfogalmának tekinteni. Az viszont kétségtelen, hogy a formális nyelvünkben olyan jelenség, amelyet nem tudunk definiálni. Ezért mi az {x | T(x)} operátort alapfogalomnak tekintjük, még akkor is, ha a „tulajdonság” fogalmát nem.

Itt kell megemlítenünk egy gyakran alkalmazott tömörítést: ha X tetszőleges osztály, x pedig individuum, akkor az Y := {x | x∈X ∧ T(x)} intenzionális definíciót a következő rövidebb alakba is írhatjuk: {x∈X | T(x)}. Ez esetben X-et az Y osztály egy majoránsosztályának nevezzük, az intenzionális definíció rövidebb alakját pedig az intenzionális definíció majoránsalakjának . Ez is intenzionális definíció persze. Valójában a „sima” intenzionális definíció is felfogható majoránsalaknak, mert az {x|...} intenzionális definíciókban szereplő x változó mindig egy adott, lentebb U-nak keresztelt osztályon (az összes egyed és összes halmaz osztálya) fut végig. Tehát az {x|T(x)} intenzionális definíció mindig egyenértékű azzal, hogy {x∈U|T(x)}. Hogy miért pont ezzel, annak az az oka, hogy ez a lehető legbővebb osztály, amit az intenzionális definíciók alapjának vehetnénk, ld. lentebb.

Magától értetődőnek tekintjük - az intenzionális operátor később sorra kerülő formális, axiomatikus részletezésében majd szimbólumnyelven is kifejtjük - hogy az {x|T(x)} intenzionális definíció által adott dolog, ha létezik, sosem egyed, hanem mindig osztály (ezt később formális elméletünkben axiómaként tudjuk formalizálni).

Az univerzum

Az egyedes osztályelmélet univerzumának felépítése

Az eddigi eszközök segítségével már definiálhatjuk a „halmaz” fogalmát (melléktermékként néhány más, igen fontos fogalmat is megkapunk, például az üres osztályét). Mindenekelőtt az „értelmes halmazelméleti objektumokat” kell egy osztályba gyűjteni, vagyis definiálni azt az osztályt, aminek elemei a halmazelmélet fő vizsgálati tárgyát képezik. Erre szolgál az univerzális osztály definíciója és axiómája (utóbbi egyúttal biztosítja egy olyan osztály létezését is, ami nem halmaz).

Az individuumok osztálya

Az univerzális osztály

Definíció: Egy dolgot, akár egyed, akár osztály, individuumnak nevezünk , ha eleme lehet valamelyik osztálynak. Az individuumok osztályát univerzális osztálynak fogjuk nevezni:

U := {x | ∃y:(x∈y)}.

(A2) Az univerzális osztály axiómája: Létezik az osztályba foglalható összes dolgok (individuumok) osztálya, azaz létezik az U univerzális osztály.

Ez egyébként maga nem osztályba foglalható, azaz nem halmaz (ld. lentebb).

Megjegyezzük:

1. Természetesen az üres halmaz (avagy üres osztály) egzisztencia-axiómája is biztosítja egy osztály, sőt egy halmaz létezését. Azonban erre hivatkozva csak a halmazelmélet építhető fel, és nem a bővebb osztályelmélet. A valódi osztályok elméletének felépítéséhez - ezt mi csak részlegesen végezzük el, amennyire a halmazelmélet felépítéséhez szükséges - szükség van valódi osztályokra .
2. Az U osztály nem alapfogalom sem informális, sem formális szempontból. Informális keretelméletünkben az univerzumot az „osztály” fogalmából és az „eleme” relációból vezetjük le. Formális elméletünkben az univerzális osztály fogalmát szintén az „eleme” relációból, valamint az alapfogalomnak tekintett intenzionális operátorból szerkesztjük. Az osztályfogalom és az intenzionális operátor rokon fogalmak, az utóbbi nagyjából a formalizált megfelelője az előbbinek, noha szűkebb nála, hiszen valódi osztályokat nem tudunk intenzionális operátorral formalizálni ama megállapodás miatt, hogy az intenzionális operátor fő változója csak az univerzális osztályból vehet fel értékeket.

A gyenge regularitás axiómája

Amint a a halmazelmélet története során a matematika válságát okozó paradoxonok elemzése megmutatta, minden halmazelmélet számára alapvető kérdést, kihívást jelent az öntartalmazkodó sokaságok problémáinak megoldása. Mi ezzel kapcsolatban a sztenderd utat választjuk, és megtagadjuk tőlük a létezés lehetőségét .

(GY1) A gyenge regularitási axióma: Egyetlen individuum sem tartalmazza önmagát elemként. Formálisan:

¬∃x∈U:(x∈x).

vagy

∀x∈U:(x∉x).

Ezt az axiómát később kidobjuk, mert sokkal erősebb formában mondjuk ki, ami feleslegessé teszi .

Az axióma következményei: az öntartalmazkodás nyílt vagy rejtett kizárásának legfontosabb következménye, hogy az ilyen halmazelméletekben az univerzális osztály megegyezik az ún. Russell-osztállyal:

R := {x | x∈U ∧ x∉x}

.

azaz

R = U.

Az osztályelméletben ez a Russell-paradoxon (legalábbis részleges) megoldódását jelenti.

Az axióma másik következménye, hogy az univerzális osztály valódi osztály, ha nem így lenne, tartalmaznia kellene önmagát; ld. a Halmaz c. szakaszt.

Egyedek

Az egyedek osztálya és axiómái

Az „egyed” fogalom: informális keretelméletünk alapfogalma. Ennek az alapfogalomnak a formális megfelelője az egyedek osztálya, ez tehát szintén alapfogalom. Hangsúlyozzuk, hogy itt voltaképp nem két különböző alapfogalomról van szó, hanem ugyanannak az alapfogalomnak két különböző nyelven történő megnevezéséről (informális, köznyelvi/formális, „mat-log” nyelvi megnevezés).

(Gy2) Az egyedek első axiómája: Az egyedek sokasága létező osztályt alkot, jele E.

(A3) Az egyedek második axiómája: Egyetlen egyednek sincs eleme.

∀x:(x∈E → ¬∃y:(y∈x));

rövidebben

x∈E ⇒ ∀y:(y∉x);

A második axióma megfordítása nem igaz; azaz ha egy individuumnak nincs eleme, attól még nem biztosan egyed. Van egy - igaz, csak egy - ellenpélda, az üres osztály.

(A4) Az egyedek harmadik axiómája: minden egyed individuum, azaz osztályba foglalható.

∀x:(x∈E → x∈U);

rövidebben

x∈E ⇒ x∈U.

Persze, ha nincsenek atomok (ha a következőkben bevezetendő üreshalmazt ismerjük el az egyetlen elemtelen dolognak), akkor az egyedek osztálya az üres osztály .

Tétel: Természetesen érvényes E∉E.
Bizonyítás: Természetesen, egy osztály sosem lehet egyed. De ha jobban ki akarjuk ezt vesézni, tegyük fel, hogy E∈E, ez azt jelentené, hogy E egyed, azaz - a második egyedaxiómából következően - épp azt jelentené, hogy nincs eleme, ami ellentmondás, hisz ez esetben, természetesen E sem lehet eleme. Tehát az egyedosztály nem lehet önmaga eleme. Tehát tulajdonképp ellentmondanánk az egyedek „definíciójának” - ha lenne ilyesmi (az egyedek alapfogalomsága miatt, nincs). Q.E.D.

Hogy az egyedek osztálya ezen felül milyen tulajdonságokkal rendelkezik (például halmaz-e), azt nyitva hagyjuk .

Az egyedazonosság

Értelmezünk, pontosabban alapfogalomnak tekintünk egy, az E elemei közti kétváltozós relációt, amelyet azonosságnak nevezünk és ≡-sal jelölünk. Elvárjuk ettől az ún. azonossági axiómákat:

Az azonossági axiómák:

Az ≡ jelű reláció legyen

1. (A5) reflexív: a≡a bármely a∈E dologra,
2. (A6) szimmetrikus: a≡b esetén b≡a legyen igaz bármely a,b∈E dolgokra;
3. (A7) tranzitív: a≡b és b≡c esetén a≡c legyen igaz bármely a,b,c∈E dolgokra.

Az elem-azonossági reláció még az atomos halmazelméletben is elég periferiális fontosságú lesz; hiszen nem az egyedekről, hanem a halmazokról fogunk beszélni. Ezért nem is igen foglalkozunk azzal, hogy pl. milyen kapcsolatban lehet az osztályegyenlőségi relációval. A következő fejezetekben szereplő üres osztály definíciójához - ezáltal a halmaz fogalmának bevezetéséhez - azonban szükséges .

Az individuum-egyenlőség

Definiálhatjuk az individuumok egyenlőségét a következőképp: két dolog egyenlő, ha mint egyedek egyenlőek, vagy ha mint osztályok egyenlőek. Azaz:

x=y : ⇔ x≡y ∨ x=y

ahol x,y tetszőleges egyedek vagy osztályok (nem feltétlenül individuumok), és az = jel a bal oldalon az individuumegyenlőséget, a jobb oldalon álló nagyobb = a már definiált osztályegyenlőséget jelöli. A majdnem azonos jelölés miatt a félreértés veszélye oly kevéssé fenyeget, hogy csak e kis diszkrepancia megoldása kedvéért nem vezetünk be új jelet.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az elnevezés félrevezető. Az individuum-egyenlőségi reláció nem csak individuumokon, hanem valódi osztályokon is értelmes.

Természetesen bizonyítani lehet, hogy minden individuum vagy valódi osztály egyenlő önmagával, meg a hasonló tulajdonságokat:

Tétel: Bármely x,y,z dolgokra:

1. x=x (reflexivitás);
2. x=y és y=z esetén x=z (tranzitivitás);
3. x=y esetén y=x (szimmetria).

Bizonyítás: 1). Ha x egyed, akkor x≡x és így x=x. Ha x osztály, akkor x=x és így x=x (az első =-jel az osztályok, a második az individuumok egyenlőségét jelöli). Más lehetőség nincs, hisz U csak egyedeket meg osztályokat tartalmaz. 2). Ha x=y, akkor x≡y vagy x=y. Ha az első eset érvényes (x≡y), és még y=z is, akkor utóbbi azt jelenti, hogy y≡z vagy y=z. Mármost y≡z esetén készen vagyunk az azonosság tranzitivitása miatt, az y=z eset pedig lehetetlen az „egyed” definíciója miatt (olyan dolog, ami nem osztály). Az osztályok = egyenlősége egyedekre nem állhat fent, tehát sem y, sem z nem egyed. De y≡z meg csak egyedekre állhat fent, tehát z mindenképp egyed. Így ellentmondásra jutottunk, tehát y≠z, így aztán - mivel mindenképp y=z - y≡z. Ezért összességében x≡y és y≡z, és az azonosság tranzitivitása miatt innen x≡z. Hasonlóan bizonyítható x=z akkor is, ha nem az első, hanem a második eset érvényes (azaz nem igaz x≡y, de igaz x=y). 3). Hasonlóan bizonyítható, mint 2). Q.E.D.

Halmaz

Definíció: Halmaznak nevezzük a más osztályokba foglalható osztályokat, azaz amelyekhez található olyan osztály, amelynek elemei. Szintén Neumann János nyomán, valódi osztálynak nevezzük azokat az osztályokat, amelyek nem halmazok.

Azaz: az x individuum halmaz, ha nem egyed, és x∈y valamely y osztályra.

Még rövidebben: az x dolog halmaz, ha individuum, de nem egyed (hanem osztály).

Definíció: A halmazok osztályát H fogja jelölni.

Formálisan:

H := {x | ∃y:(x∈y) ∧ x∉E}   =   {x∈U | x∉E}

(Gy3) A halmaz-axióma: A halmazok osztályt alkotnak; a H osztály létezik.

Tétel: U és H osztályba nem foglalható, valódi osztályok.

Bizonyítás: Ha halmazok lennének, tartalmazniuk kellene önmagukat. Az univerzális osztály minden osztályba foglalható dolgot tartalmaz, tehát ha maga is osztályba foglalható dolog, akkor magát is tartalmazza. Hasonlóan, a halmazosztály minden osztályba foglalható osztályt tartalmaz, tehát ha maga is osztályba foglalható osztály, akkor magát is tartalmazza. Mindezt azonban a regularitási axióma kizárja. Ezért egyik fenti osztály sem halmaz.

Ergo: Létezik legalább két valódi osztály.

Megjegyzés: U még akkor is valódi osztály lenne, ha nem tennénk fel a regularitási axiómát, ld. a Sokaság és osztály c. szakaszt.

Később belátjuk, hogy léteznek nemvalódi osztályok, azaz halmazok is: ilyen az üres halmaz.

---

Megjegyzések

Úgy érezzük, szükséges tisztázni néhány filozófiai, ill. módszertani problémát, amik feltétlenül felvethetőek. A lentebbi megjegyzéseink egyike-másika inkább a témában már jártasaknak szól, akiket érdekelhet, ezt vagy azt miért így vagy úgy mondtuk. Az összes megjegyzés végigolvasása és megértése nem feltétele a továbbhaladásnak.

Dolgok, amik nem osztályok?

Ahogyan fentebb említettük, sok szerző felteszi egyrészt az osztályoknál elemibb szintű dolgok, az ún. egyedek - más neveken: atomi individuumok, atomok, vagy őselemek - létét, amik nem osztályok, hanem: csakis és kizárólag elemei lehetnek más osztályoknak, de maguknak nem lehet semmi az elemük. Másrészt a halmazelmélet története azt mutatja, nemcsak az ilyenek létezése vagy nemlétezése vethető fel, hanem létezhetnek olyan nagyon nagy, túl általános sokaságok is, melyek ugyan nem egyedek, mégsem nevezhetőek halmazoknak. A hardcore matematikai halmazelméletnek általában nincs szüksége a halmazokhoz hasonló, de náluk alapvetőbb sokaságféleségek feltételezésére, és ezért a matematikai tankönyvek többségében nem fordul elő ezek tárgyalása. Más a helyzet a logikával, a filozófiával és ezek különféle határtudományai- ill. alkalmazásaival (analitikus filozófia, intenzionális logika, logikai grammatika stb.).

Egyelőre ennyit a „tudomány” véleményéről általában. Ami konkrétan a mi álláspontunkat illeti; a mi felépítésünkben feltesszük nemcsak olyan dolgok létezését, amik „túl kicsik a osztálysághoz” - az egyedekét, de feltesszük, mégpedig kényszerűen, olyan dolgok, olyan sokaságok létezését is, amelyek „túl nagyok az osztálysághoz” (az indokok lentebb). Igaz, az osztályelméletnek olyan felépítését adjuk, hogy ezek a „nagy” sokaságok ne legyenek definiálhatóak a formális halmazelméletben. Eme módszer szerint, bár informális keretek közt (a filozófiai „metanyelvben”) elismerjük, hogy léteznek, de nem engedjük meg, hogy „hivatalosan” (az osztály- és halmazelmélet „tárgynyelvében”) beszélni is lehessen róluk, ezáltal nem fognak ellentmondásokat okozni .

Mindezek miatt, válasszuk is ketté a kérdést; az egyedek ill. a „nem-osztályjellegű sokaságok” kérdéseire.

Definiálható-e az „egyed” fogalma?

Ezt elsősorban úgy értjük, hogy matematikai definíció adható-e mondjuk az egyedosztályra; nem az „egyedség” mibenlétének filozófiai körbejárása érdekel.

Főképp az üres osztály léte teszi nehézzé az egyedek szabatos definiálását - bár az sem könnyíti meg, hogy őket már rögtön a legelső szakaszokban alapfogalomként fogadtuk el. De ez az alapfogalomként való elfogadás elsősorban épp azért történt, mert az egyed fogalmának matematikai definíciójára nem lát(t)unk értelmes lehetőséget.

Azt már fentebb említettük, hogy a legjózanabbnak látszó „definíció”: „az egyed olyan dolog, aminek nincs eleme”, önmagában nem működik, mert az üres osztályt is egyednek mondaná. Akkor hát nyilván valamilyen módszerrel előbb az üres halmazt kellene körbehatárolni, de úgy, hogy közben ne használjuk az „egyed” fogalmát. Akkor pedig lehetne mondani, hogy

(*) „egyedek az olyan individuumok, melyeknek nincs eleme, és nem egyenlőek az üres osztállyal”.

Érvényes persze, hogy az egyedek individuumok, amint azt az univerzális osztály definíciója informálisan, illetve egyedekre vonatkozó harmadik axióma formálisan ki is mondja; ezért a (*) jelű kijelentés e része rendben van. Az ez után következő rész az üres osztály / üres halmaz fogalmát használja, erre tehát olyan definíciót kell adni, amely az „egyed” fogalmát nem használja, különben a definíció önhivatkozóvá válna. S vajon van-e lehetőség az üres halmaz egyedek nélküli definíciójára? Ezáltal lehetőség nyílna-e arra, hogy valamilyen módszerrel behatároljuk az egyedeket?

Én nem látok erre lehetőséget.

Ha felhasználjuk az univerzumot, az már problémás, hiszen annak informális definíciójában szerepel az „egyedekre” hivatkozás. De még ha meg is feledkezünk erről a problémáról, és az egyedekre nem hivatkozó formális definícióról úgy gondoljuk, függetleníthető az informálistól, az üres halmaz definíciójára akkor is csak két egyszerű lehetőség látszik felmerülni: nevezetesen:

1. „az üres osztály a magukkal nem egyenlő egyedek osztálya” - ez nyilván nem jó;
2. „az üres osztály a magukkal nem egyenlő individuumok osztálya” - ez sem jó, mert az individuumegyenlőség felhasználja az egyedazonosságot, az meg az egyed fogalmát.

Ha nem használjuk az univerzumot, akkor olyan definícióra gondolhatunk, hogy „az üres halmaz az önmagukkal nem egyenlő dolgok/osztályok osztálya”. A „dolgok”-ra hivatkozással az a gond, hogy a dolog az informális osztályelméletben: „egyed(!), vagy osztály”, a formális elméletben meg az {x|x≠x} definíciót elfogadva, nem tudjuk garantálni, hogy az „üres osztály” - üres legyen, azaz ne legyen eleme. Ugyanis a formális elméletben = az individuumegyenlőséget jelenti, aminek definíciójához felhasználtuk az egyedazonosságot, annak értelmezési tartományaként pedig az egyedosztályt. Persze, hogy akkor inkább használjuk az osztályegyenlőséget. Csakhogy ez sem működik. Ugyanis vagy be kell vennünk a definícióba az „összes osztály” majoránssokaságát, de ezt meg nem lehet; hiszen a formális elméletben nem létezik; vagy pedig megengedjük, hogy az „x” változó ne csak osztályt, hanem tetszőleges dolgot jelentsen, de akkor meg az üres halmaz tele lesz pl. egyedekkel (mert tetszőleges egyedre igaz, hogy az mint osztály nem egyenlő magával. Az osztályegyenlőség relációja csak az önmagukkal azonos osztályok „párjait” tartalmazhatná, ha valódi osztályok esetében beszélhetünk egyáltalán „párokról”; bármely más elemek párjai nem elemei a relációnak, tehát nem egyenlőek, vagyis nemegyenlőek, azaz elemei az „áthúzott osztályegyenlőség”-jel által megnevezett relációnak(!)).

Látható, akárhogy is erőlködünk, egy egyedeket is tartalmazó halmazelméletben az üres osztály valahogy „nem engedi”, hogy őt az egyed fogalmának felhasználása nélkül akár formálisan, akár informálisan definiáljuk. Tehát az üres halmaz fogalmára sem tudunk hivatkozni az egyedek „definíciójakor”.

Sokaság és osztály

Az Egyed, osztály, elem(e) c. szakaszban az „osztály” és a „sokaság” kifejezéseket látszólag azonos értelmű szóként használtuk. Ez a következőképp kell pontosítanunk: mint filozófiai keretfogalmat, elismerjük és el is kell ismernünk az osztálynál magasabb szintű fogalmat, a „sokaságokat”. Ennek két oka van:

1. Felépítésünk elismeri a regularitási axiómát. Ennek következményeképp egyetlen osztály sem tartalmazhatja önmagát. De az „összes osztály osztálya” ilyen sokaság. Ez tehát nem lehet osztály (ld. „Russell negyedik tételét”).
2. Még ha nem is ismernénk el a regularitási axiómát, „az összes osztály osztálya”, és hasonlóan „az összes halmaz halmaza” fogalmak akkor is ellentmondásosak lennének. Az erős részosztály-axiómából következően ennek részosztálya lenne az „összes, önmagát elemként nem tartalmazó osztály osztálya”; az ún. Russell-osztály. Ennek feltételezése pedig ellentmondásos, erről meggyőződhetünk, ld. a Russell-paradoxon általunk közölt szövegét (megjegyzés: mi beszélni fogunk ugyan Russell-osztályról mint létezőről, azonban ezen nem az összes nem-öntartalmazkodó osztály, hanem az összes nem-öntartalmazkodó halmaz osztályát fogjuk érteni, ami nem ellentmondásos fogalom.

Pontosan ezen ok miatt a meghatározottsági axiómát sem tudjuk formalizálni, hiszen az az osztályság természetéről szól, a formalizáláshoz tehát fel kellene tenni egy, az összes osztályt tartalmazó osztály vagy egy megfelelő logikai predikátum létét.

Ha tehát az osztályelméletet, mint halmazelméletünk informális (filozófiai) keretelméletét, a Russell-antinómiától mentesen akarjuk tárgyalni, el kell ismernünk olyan sokaságokat, melyek nem osztályok. Erről bővebben: Az osztályfogalom szerepéről pontosabban c. részben.

Mint matematikai objektumok, számunkra mégsem fognak létezni a halmazelmélet jelen, ún. nem-komprehenzív felépítésében a sokaságok. Ugyanis axiómáink nem fogják megengedni a nem-osztályjellegű sokaságok megkonstruálását, voltaképp pont erre valók. Ezért lehetséges, hogy az „osztály” fogalmát tekintsük alapfogalomnak. Ez csak a matematikai elmélet számára alapfogalom, a valódi legalapvetőbb fogalmunk a „sokaságé” és az „egyedé”. Ha valakinek ez nem tetszik, vagy tekintse az informális osztályelméletet anti-komprehenzívnek (azaz tegye fel informális axiómaként, hogy nem minden létezik, amit definiálni tudunk), vagy pedig tekintse a sokaságokat is alapfogalomnak, ha már említve lettek; de e munkában nem játszanak semmilyen matematikai szerepet; és jelen fejezeten kívül nem bukkanak fel sehol (remélhetőleg, ellenkező esetben ugyanis inkonzisztens lenne a halmazelméletünk).

A „létezésről”

Itt, a sokaságok és/vagy osztályok megkülönböztetése kapcsán hívjuk fel a figyelmet, hogy a „létezik-e” kérdés (legalább) háromféleképp is érthető.

1. Az egyik értelmezést, nevezzük „szintaktikus létezésnek”, úgy határolhatjuk körül, hogy szintaktikai értelemben létezőnek azt tekintjük, amit - általában intenzionálisan - definiálni tudunk, megfogalmazhatunk az általunk felépített szimbólumnyelv eszközeivel. Pl. az Ω := {x | x=x} osztály „szintaktikus értelemben létezik”, mert beszélhetünk róla formális eszközökel. De hogy „valójában” is létezik-e, pl. nem okoz-e antinómiát a feltételezése, az erősen kérdéses. Ne is nevezzük ezért ezt „létezésnek”. beszéljünk ehelyett „formalizálhatóságról”. A köznyelvben is beszélhetünk kentaurról, meg fából készült vaskarikáról; de erősen kérdéses, a valóságban létezik-e ilyesmi. Ugyanígy, a matematika számára sem létezik minden, amit meg lehet fogalmazni.
2. A másik értelmezést nevezzük „filozófia létezés”-nek. Ezen azt értjük, hogy az illető tárgyról, fogalomról beszélhetünk az osztályelmélet – különösen annak általunk adott felépítése – informális keretei között, anélkül, hogy ismert antinómiába ütköznénk. Ez se nem szűkebb, se nem bővebb, mint a fenti értelmezés. Pl. az összes osztály sokasága nem formalizálható (ahhoz ki kellene terjesztenünk az osztályelméletet sokaságelméletté), de filozófiai értelemben feltételezhetően létezik. Az összes dolog osztálya formalizálható ({x | x=x}, bár nálunk ez az intenzionális definíció nem ezt jelenti, hanem egyszerűen az univerzális osztályt); de filozófiai értelemben – legalábbis e munkában – nem létezik, mivel a regularitási axióma kizárja. Sőt, látható, hogy még ezzel a fogalommal is gondban vagyunk, mivel egyes halmazelméletek filozófiai létezőnek tekinthetnek olyasmit (pl. a naiv halmazelmélet a Russell-halmazt, a KPU az egyedeket, amiket mások, mint az NGB- vagy a KP-elmélet, nem). Tehát beszélhetnénk „tágabb értelemben vett filozófiai létezésről” (az így létező dolgokhoz található olyan halmazelmélet, hogy annak alapvető fogalmaiként, ellentmondásmentesen tárgyalhatóak), meg „jelen munkában elismert, szűkebb értelemben vett filozófiai létezőkről”.
3. A harmadik értelmezést nevezzük „formális létezésnek” vagy „konstruálhatóságnak”. Egy fogalom akkor kontruálható, ha formalizálható is, és filozófiai értelemben létezik. Ez a fajta létezés megfelel a „matematikai elméletünkben van értelme e fogalomnak” kifejezés jelentésének. Ez természetesen szűkebb, mint a filozófiai létezés. Pl. a sokaságok filozófiai értelemben léteznek, matematikai értelemben (remélhetőleg) nem.

Ehhez szorosan kapcsolódó kérdés, hogy mit jelent az {x | T(x)} intenzionális definíciókban az „x” változó, azaz mi az értelmezési tartománya? Többféle lehetőség van, pl. az összes köznyelvben előforduló dolog sokasága, vagy az összes formulanyelven kifejezhető dolog osztálya (tehát a „szintaktikus létezők”); vagy asz összes sokaság sokasága; vagy az individuumok osztálya (azaz az univerzum), stb. Egyik felfogás sem problémamentes, de a matematikailag egyetlen tartható megállapodás az, hogy U univerzum (nem véletlenül ez a neve!) az alaptartomány, ahogy ezt az intenzionális definíciók leírásánál meg is jegyeztük.

A legbővebb értelmezés szerint "x" az "összes dolog" sokaságán - egyedeken, halmazokon, valódi osztályokon - futna végig. Sajnos, ez lehetetlen. Tekintsünk egy e felfogás mellett értelmezett igen egyszerű intenzionális definíciót:

Q := {x|x∉U}

A naiv szemlélő persze azt mondhatná, hogy ez "az univerzumon kívüli dolgok" - például a valódi osztályok - osztálya. Csakhogy ezzel azonnal kész is lenne az antinómia, hiszen ha csak azt néznénk, hogy mely osztályok felelnek meg a "|" jel mögötti definíciónak, akkor U∈Q lehetne, de hisz ez lehetetlen, egy valódi osztály nem lehet más osztálynak eleme. És ez a gondolatmenet bármilyen T(x) tulajdonság mellett is érvényes: egy valódi osztályt sosem lehet az "{x|..." jelsorozatban "x" helyébe írni, mert akkor e valódi osztály eleme lenne egy másik osztálynak. Tehát a fenti értelmezést le kell szűkíteni, hogy ez az "x" változó csak individualizálható, azaz "osztályokba kasztnizható" elemeket, jelenthessen. Az individualizálható elemek osztálya pedig épp U, tehát ez lesz az alaptartomány, ami az intenzionális definíciók alapjául szolgál.

Megjegyzések az egyenlőségről

A dolgok egyenlőségével - legyen akár egyedeké, akár osztályoké - kapcsolatban a következő alapvető kérdés merül fel rögtön: Két osztály vagy elem hogy lehet egyenlő? Két dolog az mindig különböző, nem?

A rövid válasz az, hogy a matematikában - ezek szerint - nem kizárólag, és a „két dolog” kifejezés - ha mást nem mondunk - a „két nem feltétlenül különböző dolog” kifejezés praktikus rövidítése.

A hosszabb válasz az, hogy a kérdés nem is olyan naiv, mint első pillantásra látszik (hiszen: két dolog hogyan lehet nem feltétlenül különböző?); ez is egy bonyolult kérdéskör, amellyel először a modern logika és analitikus filozófia alapító atyja, Gottlob Frege foglalkozott behatóan. Ha veszünk egy elemsokaságot, és még egy elemsokaságot, amely ugyanazon elemekből áll, tehát ugyanaz, mint az előző, akkor hogyan beszélhetünk egyáltalán „két” elemsokaságról? Nem takar ez a definíció fizikai-filozófiai képtelenséget? Gondoljunk azonban arra, hogy az „elemek” és sokaságok sokszor nem fizikai tárgyként, hanem nyelvi leírásuk által vannak gondolatainkban megjelenítve, és két leírásról gyakran nem nyilvánvaló, hogy ugyanazt az elemet vagy elemsokaságot jelentik, hanem pl. tudományos kutatásoknak kell ezt kiderítenie. Ezért két elem vagy osztály egyenlősége nem biztosan semmitmondó tautológia (tautológia = szóismétlés, nyilvánvalóság). Csak egy példa, ráadásul a „tárgyi”, fizikai világból: Máig nem tudjuk, a „Kennedy gyilkosa” elemleírás azonos jelentésű e, mint a „Lee Oswald” elemleírás, és egyáltalán nem bizonyos, valaha megtudjuk-e, holott nyilván vagy azonos, vagy nem. Tehát két elem egyenlőségét kimondani nem feltétlenül logikai bukfenc vagy semmitmondás, s ugyanígy két osztály egyenlőségét sem. Felfoghatjuk úgy, hogy az egyenlőség jelek és nem a jelek jelentése (azaz a "tárgyak") közti reláció, márpedig egy dolgot általában sokféle jellel megnevezhetünk. Tehát amikor két dolog egyenlőségéről beszélünk, akkor nem a "tárgyi" világról állítunk valamit, hanem az erről való gondolkodásról vagy tudásról. Távol álljon tőlünk, hogy kizárólagosnak, kötelezőnek tekintsük e felfogást, mindenesetre a fenti diszkrepancia jól kezelhető lesz általa.

Fregét e probléma vezette híres szemiotikai felfedezéséhez, a „háromdimenziós” jelmodellhez. Nevezetesen, a nyelvi jeleknek van jelteste (amivel jelölnek), ezen kívül jelölete (extenziója), vagyis az a dolog, amit jelölnek, és jelentése vagy értelme (intenziója), azaz az a mód, ahogyan leírják, amit jelölnek. Például az „Arisztotelész”, a „Platón peripatetikus tanítványa”, illetve a „Stagira nagy szülötte” kifejezések ugyanazt a dolgot (Arisztotelészt) jelölik, de jelentésük eltér (illetve, az elsőnek nincs is igazán jelentése), mivel teljesen más módon nevezik meg a megnevezettet. A „jelölet” és „jelentés” különbözőségének felfedezése azért oldja fel a fentemlített paradoxont, mivel magyarázatát adja annak, hogy az egyenlőség nem valami trivialitás (ami csak az a=a típusú kijelentések megtételére jó, hiszen különben különböző dolgokat kellene egyenlőknek állítanunk, amit sosem tehetnénk), de nem is valami lehetetlenség (tehát hogy trivialitás nélkül csak különböző dolgokat állíthatnánk egyenlőknek). A jelek különböző jelentése ugyanis sokszor elfedi a jelöletek azonosságát, amiről sokszor nem is ismert, hogy igaz-e - ld. "Lee Oswald". Tehát az egyenlőség annyiban hordoz információt, amennyiben a különböző jelentések közötti, a jelöletek azonossága révén megvalósuló kapcsolatokat tárja fel.

Osztályok, amik elemei önmaguknak?

A kérdés fogas. Egyrészt: miért ne lehetne? Ha beszélhetünk olyan katalógusról, ami tartalmazza önmagát is (és miért ne? bárki készíthet ilyet), akkor miért ne beszélhetnénk olyan osztályról, ami tartalmazza önmagát? Az informatikából jól ismerünk önrekurzív, vagy kölcsönösen rekurzív rendszereket. Egy másik jól ismert példát a fraktálok jelentik, amelyek egy bizonyos értelemben „öntartalmazkodó” geometriával bírnak; mégis pár soros matematikai formulákkal leírhatóak, mindenfajta ismert ellentmondás nélkül. Másrészt érvelhetünk ezzel ellenkező módon is. Ugyanis amikor definiálunk egy osztályt, akkor ezt meghatározzák az elemei. Na de ha az egyik eleme nem meghatározott, mivel éppen önmaga által válik meghatározottá, akkor Cantor definíciójának (illetve ennek osztályokra való általánosításának) szellemében ugyebár maga a sokaság sem meghatározott? Cantor szerint a halmaz szemléletünk jól megkülönböztethető („jól megkülönböztethető” - a matematikus számára ez általában annyit jelent: „jól definiált”) dolgainak egységbe foglalása; de jól definiált-e az a halmaz, amit mondjuk az A :={a₁, a₂, ..., a_n, A} meghatározással akarunk definiálni? Ez tipikus esete az érvénytelen definíciónak, mivel az A halmaz minden elemének jól definiáltnak kell lennie ahhoz, hogy maga az A is az legyen, tehát az A definíciójában jobb oldalon (a definiensben) szereplő A-t már előzőleg definiálni kellettt volna ahhoz, hogy a bal oldalon (a definiendumban) szereplő A jól definiált halmaz legyen. Bár e gondolatmenet ellen hozhatóak fel ellenérvek (nevezetesen: egy intenzionális definíció úgy is definiálhat öntartalmazkodó halmazt, hogy a definícióban nem szerepel a definiendum, pl. a naiv halmazelméletben az U :={x|x=x} definíció az összes halmaz halmazátt adja meg; definíciója nem önreferens, U mégis tartalmazza önmagát); az azonban látható, hogy az öntartalmazkodó halmazok kizárásának gondolata (is) mennyire összeegyeztethető a józan ésszel. A fentinél komolyabb ellenérvek is vannak azonban az olyan osztályok ellen, amik tartalmazhatják önmagukat, az egyik ilyen épp a Russell-antinómia.

Ennyit a dolog filozófiájáról. A filozófusok között nincs konszenzus e kérdésben. A Russell-féle logikai típuselmélet pl. az ún. típusok bevezetésével kizárja az ilyen sokaságokat a halmazok köréből; ugyanakkor egy nem matematikus, de logikai szakember, F. B. Fitch, a Yale egyetem filozófia- és pszichológiaprofesszora, egy cikkében megbírálta Russellt, amiért az összes önreferáló, öntartalmazkodó dolgot ki akarná zárni az értelmes jelenségek köréből, nem csak az ellentmondásokat okozókat . Fitch kritikája fontos észrevételt tartalmaz, kimutatja ugyanis, hogy sok fontos filozófiai rendszer szükségképp önreferens, vagyis magamagáról is képes beszélni (pl. a tudományfilozófia, amely mindenfajta elméletről szólhat, vagyis önmagáról is).

A matematikus-szemüvegünket felrakva viszont mégis csak azt mondhatjuk, hogy a halmazelmélet legelfogadottabb rendszerei, a ZFC- és NGB-axiómarendszerek különféle módszerekekel mind kizárják az öntartalmazkodó osztályokat (ezért Fitch megjegyzései ugyanúgy érvényesek rájuk is). A Zermelo-Fraenkel-féle és a Neumann-Bernays-Gödel-féle axiómarendszerek például az ún. regularitási axióma segítségével . A mi felépítésünkben az ismertebb ellentmondást okozó osztályok kizárását a regularitási axiómán kívül (bár ezt is elfogadjuk) egyszerűen azzal a módszerrel érjük el, hogy egy eszközt sem engedünk meg, amelyből ismert módon következne ezek létezése - ezt a ZFC is alkalmazza, hisz vannak olyan naiv halmazelméleti sokaságok, amelyekre a regularitás axiómája nem alkalmazható (pl. a Burali-Forti-osztály).

Gyakorlatok

1. Adjunk meg öt osztályt!
2. Vajon az „izgalmas mozifilmek” sokasága miért nem osztály?
3. Tudjuk, hogy az osztályok = egyenlősége reflexív reláció: azaz tetszőleges A osztályra A=A. Lássuk be, hogy ≠ meg irreflexív reláció, azaz egyetlen osztály sem nem-egyenlő önmagával!
4. Tranzitív-e ≠ (ha a≠b és b≠c, igaz-e a≠c)?
5. Egy napon Athén piacterén, néhány ezer évvel ezelőtt, a krétai Epimenidész, a közismert Zeusz-pap és varázsló elkiáltotta magát - talán vitája volt valakivel éppen - : „A krétaiak mind örök hazugok és naplopók!” Értsd: minden krétainak minden mondata hazugság. Lássuk be, hogy ő maga is hazug (ti. hogy nem mondhatott igazat, mert szavaiból éppenséggel kikövetkeztethető egy olyan krétai létezése, aki nem mindig hazudik)!
6. Adjuk meg azon osztály formális, intenzionális definícióját, amely pontosan azon halmazokat tartalmazza elemként, melyek maguk nem elemei egy halmaznak sem! Létezik-e ez az osztály? Segítség: _{(melyik közismert)} halmaz-e ez az osztály?
7. 1. a). Igaz-e, hogy az Ü := {x | x≠x} definíció értelmes, létező osztályt ad meg, mégpedig az üres osztályt?
   2. b). Vajon az Ω := {x | x=x} definíció létező osztályt ad meg?
8. Tudjuk, hogy az osztályok osztálya nem létezhet, de mi a véleménye ennek valódi részéről, a valódi osztályok V := {x | x∉E ∧ ∀y:(x∉y)} sokaságáról? Ez vajon osztály (azaz: létezik)?
9. „Fejezzük be” az individuum-egyenlőség tranzitivitásának és szimmetriájának bizonyítását!
10. Mi a véleménye az E' := {x|x∉E} definícióról, megad-e egy osztályt az „egyedek osztályának komplementere”?

Megoldások: Halmazelmélet/A feladatok megoldásai#Alapfogalmak

---

Jegyzetek

Lap teteje