Lineáris algebra
Bevezetés a lineáris algebrába
Isten hozott a Mátrixban!
Mi a lineáris algebra?
A lineáris algebra a matematika (konkrétan az algebra) egyik tudományága, elsősorban a geometria és a fizikai bizonyos eredményeire épült és utóbbi tudományágak szükségletei hívták életre. Viszonylag fiatal terület, első komolyabb eredményei a XIX. század közepén, végén születtek.
Első közelítésben úgy határozható meg, mint azon sokváltozós/sokismeretlenes algebrai egyenleteknek és az általuk leírt függvényeknek, geometriai alakzatoknak és más objektumoknak vizsgálata, mely egyenletekben minden ismeretlen, változó stb. legfeljebb az első hatványon szerepel.
Bővebben ld. a Bevezetőt.
A könyv didaktikai jellegéről
Jelen munka inkább bevezető tankönyv és összefoglaló jegyzet, mint kizárólag a gyors tájékozódást szolgáló, áttekintő kézikönyv.
Egészen elemi, általános iskolás szintről kiindulva kezdünk a téma kifejtésébe (noha a tárgyalásmódban, elsősorban a felépítés részletességében, precizitásában e szintet már a kezdet kezdetén jóval meghaladjuk). Igyekszünk bemutatni, amennyire lehetséges, először a szemléletes (pl. a geometriai), kevésbé absztrakt, és történetileg is korábban kialakult területeket, és fokozatosan jutunk el az egyre absztraktabb fogalmakhoz és formálisabb tárgyaláshoz.
A szövegstílust tekintve a bevezető fejezetekben megpróbáljuk Dohár Péter: Kis angol nyelvtan c. könyvének bizonyos, a hagyományos tankönyveknél kötetlenebb stíluselemeket hordozó jellegzetességeit követni.
A könyv tartalma
Elemi lineáris algebra
szerkesztés- Elsőfokú egyenletrendszerek
- Valós vektorok és vektorműveletek
- Vektorok, sík- és térvektorok
- A sík transzformációi
- n-dimenziós vektorok
- Főtengely-transzformáció (síkban és térben)
Strukturális lineáris algebra
szerkesztés- Vektorok gyűrű felett
- Mátrixok gyűrű felett (csak a definíció és az alkalmazások említve)
- Modulusok és Lineáris terek
- Lineáris összefüggőség és függetlenség
- Bázis, dimenzió
- Direkt összeg
- Homomorfizmus, lineáris leképezések
- Mátrixok összeadása és szorzása számmal
- Invariáns altér
- Affin kombináció, bázis és alterek
- Euklideszi terek
- Normált terek
- Topologikus vektorterek
Mátrixalgebra
szerkesztés- „A táblák pedig Isten kezének csinálmányai valának, az írás is Isten írása vala, kimetszve a táblákra.” (Exod. 31.16).
- Lineáris mátrixműveletek
- Mátrixok összeadása és skalárszorzása ?
- Mátrixszorzás
- Mátrixok szorzása
- Speciális alakú mátrixok
- Permutáló mátrixok:
- Szimmetrikus mátrixok
- Háromszögmátrixok
- Determináns
- Adjungált, inverz
- Mátrixok és egyenletrendszerek
- Egyenletrendszer mátrixa
- Gauss-eljárás
- Cramer-szabály
- Rang
- Speciális mátrixok és determinánsok
- Vandermonde-determináns
- Komplex mátrixok
- Numerikus és analitikus módszerek
- Gram-Schmidt-eljárás
- Diagonalizálás, felbontások, LU-felbontás
- Mátrixegyenletek
- Mátrixanalízis, mátrixtopológia
- Sajátérték
- Minimálpolinom
Alkalmazások
szerkesztés- Transzformációk és tenzorok
- Analízis, n-változós differenciálszámítás, diffegyenletek
- Algebra: polinomok, rezultáns, véges testek (Fr-mátrix)
- Kombinatorika, Véges geometria, Matroidok
- Kódelmélet
- Valószínűségszámítás: Markov-folyamat mátrixa
Függelék
szerkesztésHivatkozások
Irodalom
szerkesztés- Cser Andor – L. Ziermann Margit – Reményi Gusztáv: Matematikai zsebkönyv. Budapest: Tankönyvkiadó. 1967. RSz. 8009 – 66.2021
- Freud Róbert: Lineáris algebra. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 1998. ISBN 963-463-080-4
- Hajnal Imre: Matematika I. Gimnáziumi tankönyv. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó. 1994. ISBN 963-18-5861-8
- Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. 6. kiad. Budapest: Műszaki. 1998. = Bolyai-könyvek, ISBN 963-16-3005-6
- Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó. 1996. = Tanárképző Főiskolai Könyvek, ISBN 963-18-7433-8
Lásd még
szerkesztés