Lineáris algebra/Kétismeretlenes egyenletrendszer elemi megoldása

Módszerek kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásáraSzerkesztés

A következőkben – természetesen – az lesz a célunk, hogy mindegyik kéttagú kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert megoldjuk. Azért is foglalkozunk ezekkel külön, mert már nem annyira triviálisak, hogy ránézésre meg lehessen oldani őket, de még elég egyszerűek ahhoz, hogy általában a lineáris egyenletrendszerek megoldásának módszereit tanulmányozni lehessen rajtuk úgy, hogy látni lehessen a lényeget.

A behelyettesítő módszerSzerkesztés

A behelyettesítő módszer során kifejezzük az egyik egyenletből az egyik ismeretlent a másik segítségével (ti. a másik függvényében), és az így kapott kifejezést a másik egyenletben beírjuk a kifejezett ismeretlen helyébe. Így a másik egyenletet egyismeretlenes lineáris egyenletté alakítottuk, melyet megoldhatunk. Ha van(nak) megoldás(ok), ezekből a kifejezett ismeretlen értéke is kiszámítható.


 1. példa:
Szerkesztés


Megoldjuk a
 

egyenletrendszert behelyettesítő módszerrel.
  • Az első egyenletből kifejezzük az   ismeretlent (egyébként azért ebből és azért ezt, mert együtthatója, 2, elég kis szám, és így kis nevezőjű törtekkel kell majd számolnunk; de bármelyik egyenlet bármelyik ismeretlenét választhatnánk):   , azaz   .
  • Ezt az eredményt behelyettesítjük a második egyenletbe:   , azaz   ,
  • Szorzunk 2-vel, adódik   ,
  • az így keletkezett egyenlet elsőfokú egyváltozós lineáris egyenletrendszerré, azaz végül is egy elsőfokú egyismeretlenes egyenletté rendezhető:
  •  , melyet megoldhatunk 11-gyel való leosztással:
  •   .
  • Ezért   .
  • Tehát a megoldás:   , és behelyettesítve az egyenletekbe e számokat ellenőrizhető is, hogy ez valóban megoldása mindkét egyenletnek.

Az összehasonlító módszerSzerkesztés

Az összehasonlító módszer során kifejezzük az egyik ismeretlent mindkét egyenletből a másik ismeretlen kifejezéseként. Mivel a két kapott kifejezés ugyanazzal a(z ismeretlen) számmal egyenlő, ezért a két kifejezés közé egyenlőségjelet írva, egy egyismeretlenes lineáris egyenletet kapunk, melyet megoldunk. Ha van(nak) megoldás(ok), ezekből a kifejezett ismeretlen értéke is kiszámítható.

2. példa:
Szerkesztés


Megoldjuk az 1. példában is szereplő
 

egyenletrendszert összehasonlító módszerrel.

  • Az első egyenletből kifejezzük mondjuk az   ismeretlent:   , azaz   .
  • A második egyenletből is kifejezzük ugyanezt az (   ) ismeretlent:   , azaz   .
  • Ennélfova   , vagyis kaptunk egy   alakú elsőfokú egyismeretlenes egyenletet, melyet megoldunk:
  • Szorzunk 2-vel és 7-tel (azaz 14-gyel):   ;
  • Hozzáadunk   -t:   ;
  • Levonunk 24-et:   ;
  • Osztunk 11-gyel:   .
  •  
     ;
  • A megoldás

Az egyenlő együtthatók módszereSzerkesztés

Az egyenlő együtthatók módszere során kiválasztjuk az egyik ismeretlent, melynek egyik együtthatója sem nulla, és ennek együtthatóit mindkét egyenletben egyenlővé tesszük úgy, hogy az első egyenletet az ismeretlen második egyenletbeli együtthatójával szorozzuk, és fordítva (a második egyenletet az első egyenletbeli együtthatóval). Ha egyik együttható sem nulla, akkor ez az átalakítás ekvivalens egyenletrendszert eredményez, melynek mindkét egyenletében az egyik ismeretlen együtthatója egyezik. Ekkor kivonva az egyik (pl. az első) egyenleteket a másikból, olyan elsőfokú egyismeretlenes (egyváltozós) egyenletet kapunk, melyet megoldhatunk. Most behelyettesítjük a kapott ismeretlen értékét valamelyik egyenletbe, és így kiszámolhatjuk a másik ismeretlent (vagy pedig a fent leírt módszert alkalmazzuk a másik ismeretlen együtthatóira is).

3. példa:
Szerkesztés


Megoldjuk az 1. példában is szereplő
 

egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével.

  • Válasszuk ki például az   ismeretlent, mivel ennek egyik együtthatója sem nulla. Az első egyenletben ennek együtthatója 2, a második egyenletet tehát szorozzuk kettővel; a második egyenletben pedig 7 az együttható, az első egyenletet tehát 7-tel szorozzuk. Olyan egyenletrendszert kapunk, melynek mindkét egyenletében   együtthatója 2×7 = 14:
 
  • Ezt úgy oldjuk meg, hogy kivonjuk az első egyenletből a másodikat:

  ;

  • Adódik   ;
  • Osztva 11-gyel   ;
  • Most hasonlóan szorozgatásokkal kiszámolva az x1-et, vagy az előző példákhoz hasonló behelyettesítéssel, megkapjuk a másik megoldást is, 1-et és a rendszer (összes) megoldása így (1,1).

A grafikus módszerSzerkesztés

A grafikus módszer során ábrázoljuk az egyenletrendszer mindkét egyenletét mint egyváltozós lineáris függvényeket (arra ügyeljünk, hogy ugyanazt az ismeretlent tekintsük független változónak mindkét egyenletben, a másikat pedig függőnek!). Ez általában lehetséges. Két függvénygörbét (egyenest) kapunk ezáltal. Az egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg egyértelműen, ha ezek az egyenesek metszik egymást valamely pontban, és ekkor a metszéspont koordinátái szolgáltatják a megoldásokat. Ha az egyenesek legalább kettő (azaz végtelen sok, azaz minden) pontban metszik egymást, végtelen sok megoldása van az egyenletnek. Ha nincs egy metszéspont se, nincs megoldás.

4. példa:
Szerkesztés


Megoldjuk a következő
 

egyenletrendszert a grafikus módszerrel.

Az egyik lehetőség, hogy ahogyan a kiegyenlítő módszer elején, kifejezzük az x2 ismeretlent mindkét egyenletből, a   rendszert kapva:

 

Közös nevezőre hozva a törteket:

 

Most a rendszer mindkét egyenletét ábrázoljuk közös derékszögű koordináta-rendszerben, mintha egy x2 függő és x1 független változójú függvény lenne mindkettő.

Megjegyezzük, hogy ha nem kell nagyon pontosan ábrázolni, akkor az ábrázoláshoz még a hosszas közös nevezőre hozás sem szükséges, elegendő, ha mindkét egyenletnek mint lineáris függvénynek a tengelymetszeteit számolgatjuk (azaz behelyettesítünk egyenletről egyenletre részint x1=0-t, részint x2=0-t).

Látható, hogy - noha a grafikus módszer általában nem abszolút pontos - meglehetős pontossággal kijött az (1,1) megoldás, mérések szerint az x,y koordináták esetében is egyaránt kevesebb mint 1/30 (kevesebb mint 0.03)-ad abszolút hibával.

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer általános megoldásaSzerkesztés


5. példa:
Szerkesztés


Megoldjuk a
 

egyenletrendszert behelyettesítő módszerrel.

  • Arra gondolunk, hogy valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent. Például az első egyenletből az első ismeretlent:   -ből   ekvivalens átalakítás, aztán pedig leoszthatunk   -gyel (?) Vigyázat, ezt csak akkor tehetjük, ha az együttható, amivel osztunk, nem nulla! Tehát ha a behelyettesítő módszert akarjuk alkalmazni, akkor legalább az egyik egyenlet legalább az egyik együtthatója nem nulla kell hogy legyen. Szerencsére ez általában teljesül, mivel hogy mindkét egyenlet mindkét együtthatója nulla, az elég triviális eset. Utóbbi esetben a bal oldalakon 0 állna. Ha mégis így van, akkor az egyenletrendszernek akkor és csak akkor van megoldása, ha homogén; s ez esetben minden valós számpár megoldás, ellenben ha valamelyik célérték nem nulla, azaz az egyenletrendszer inhomogén, akkor ez az egyenlet 0 = β ≠ 0 alakú, tehát azonosan hamis, nincs megoldása.
  • Ezt figyelembe véve, tegyük fel, hogy   ; ekkor   ,
  • ezt behelyettesítve a második egyenletbe:   ,
  • a bal oldalon az osztást és beszorzást elvégezve   ,
  • szorozva a feltevés szerint nem nulla   együtthatóval,   ,
  • összevonva az   ismeretlen együtthatóit,   , innen pedig   .
  • Ha most   , akkor oszthatunk ezzel az együtthatóval, adódik:
  .
  • Behelyettesítve ezt az eredményt   -ben   helyére,
           
     
     
     
         
    .

Ezzel pedig megállapítottuk, hogy bizonyos speciális eseteket leszámítva, a fenti lineáris kéttagú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:

 

A következő feltételekkel:

  ;
 

Megjegyzések:

  1. Triviális esetek
    1. Az   feltétel nem teljesülése esetén az egyenletrendszert nagyon egyszerű megoldani, mivel ekkor  , ami   esetén azt jelenti, az első egyenlet megoldása bármi lehet (ha β1=0), illetve nem létezik (ha β1≠0); míg   esetén  . Ennek ismeretében pedig a második egyenlet egyszerű elsőfokú egyismeretlenes egyenletté egyszerűsödik.
    2. Az α1,1α2,21,2α2,1 ≠ 0 feltétel teljesülése esetén azt mondjuk, az egyenletrendszer reguláris; irregulárisnak mondjuk ellenkező esetben. Belátható, az irreguláris egyenletrendszerek azok, melyeknek egyik egyenlete a másik számszorosa, ez esetben nincs megoldás, vagy végtelen sok megoldás van.
  2. Ezt a képletet ilyen formában elég nehéz megjegyezni. Ezért (is) alkották meg a matematikusok a másodrendű determináns fogalmát, amely kis gyakorlás után nagyon megkönnyíti a kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásának megjegyzését.

A másodrendű determinánsSzerkesztés

Vezessük be a következő definíciót: legyenek A,B,C,D valós (vagy komplex) számok (illetve függvények, polinomok, vagy bármi olyasmik, amikkel összeadást, kivonást és szorzást lehet végezni). Ekkor az ebből a négy elemből ebben a sorrendben képezett másodrendű determinánsnak nevezzük a következő számot: AD-BC. Ezt így is szokás jelölni:

 

Úgy is szokás ezt mondani, hogy a fenti táblázat alakba írt négy számból képezett determináns a táblázat „főátlója” (ÉNY-DK irányú átló, balfent-jobblent irányú átló) elemeinek (A,D) szorzatának és „mellékátlója” (ÉK-DNY irányú átló, jobbfent-ballent irányú átló) elemeinek (B,C) szorzatának különbsége.

Fentebb megállapítottuk, hogy bizonyos speciális eseteket leszámítva, a fenti lineáris kéttagú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:

 

A következő feltételekkel:

  ;
 

Az   számot ill. determinánst az illető egyenletrendszer determinánsának is nevezzük.

Determinánsokkal a megoldás így írható fel:

 
  • Vagyis (a másodrendű Cramer-szabály):
  1. A lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer első ismeretlenének értékét úgy kapjuk, hogy azt a determinánst, melyet az egyenletrendszer determinánsából úgy kapunk, hogy annak első oszlopa helyére az egyenletrendszer konstans tagjait írjuk; osztjuk az egyenletrendszer determinánsával (ha ez nem nulla).
  2. A lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer második ismeretlenének értékét úgy kapjuk, hogy azt a determinánst, melyet az egyenletrendszer determinánsából úgy kapunk, hogy annak második oszlopa helyére az egyenletrendszer konstans tagjait írjuk; osztjuk az egyenletrendszer determinánsával (ha ez nem nulla).