Numerikus sorozatok/Átviteli elv

A sorozat határérték meghatározásának témaköre nem független a függvény-határértéktől. A tárgyalás egy későbbi szakaszában, a függvényhatárértékek ismeretében meghatározhatjuk számos konvergens sorozat határértékét. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a felsőfokú oktatásban rendszerint addig nem ildomos alkalmazni az átviteli elvet sorozatokra, amíg a függvényhatárérték, de inkább a L'Hospital-szabály tárgyalásra nem kerül. Az ilyen megoldások nem rosszak, de módszerükben teljesen mások a sorozatoknál alkalmazottaktól. Fennáll annak a veszélye, hogy a számonkérés a sorozatok elemi tárgyalásánál alkalmazott módszerekre vonatkozik, így az értékelő nem a határértékre magára, hanem a számítás hogyanjára kíváncsi. Világos, hogy ezekben az esetekben az ilyen megoldás nem értékelhető. Másrészt azonban amikor a sorok összegének meghatározására már az integrálkritérium is alkalmazható, akkor az ilyen módszerek is javallottak.

Átviteli elv

A függvényhatárértékre vonatkozó átviteli elv a következő.

Tétel – Átviteli elv függvényhatárértékre – Legyen f: A $\to$ R függvény, ahol A ⊆ R valós részhalmaz, u az A halmaz torlódási pontja, v ∈ R. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással: létezik az f-nek határértéke az u pontban és $\lim \limits _{x\to u}f(x)=v$ minden az u-hoz tartó, A-beli értékekből álló, de az u-t legfeljebb csak véges sokszor felvevő (xn) konvergens sorozat esetén az (f(xn)) függvényérték-sorozat konvergens $\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=v$

A tétel bizonyítása a függvénytan feladata. Alkalmazása sorozatokra az 1. --> 2. irányba történik. Jellegzetesen a határozatlan alakú sorozathatárértékek, azaz a

${\frac {0}{0}},\quad \quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad \quad 0^{0},\quad \quad 1^{\infty },\quad \quad \infty ^{0}\,$

alakú határértékeket vezetjük vissza ugyanilyen függvényhatárértékek vizsgálatára. Annak az indoka, hogy ezzel hatékonyabban járhatunk el a határérték-kereséseknél az, hogy a függvényhatárértékek egy pontosan meghatározott körére már alkalmazható L'Hospital szabály. Ez a következő.

Tétel – L'Hospital-szabály – Legyen f,g: (a,b) $\to$ R intervallumon értelmezett, differenciálható függvények, melyek olyanok, hogy g nem nulla az a egy környezetében továbbá $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\lim \limits _{x\to a}g(x)=0\,$ létezik az $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ határérték Ekkor létezik a lima(f/g) határérték és $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Mintapélda. Számítsuk ki az

$a_{n}=n\cdot \mathrm {arc} \,\sin \left({\frac {1}{n}}\right)$

általános tagú sorozat határértékét!

Megoldás. Mivel az (1/n) sorozat a 0-hoz tart és a arc sin függvényre vonatkozóan ismerünk a 0-ban vett nevezetes határértékeket (illetve nehézség nélkül meghatározhatjuk azokat), azért vegyük az

$x_{n}={\frac {1}{n}}\to 0$

sorozatot és alakítsuk át (a_n)-et:

$a_{n}=n\cdot \mathrm {arc} \,\sin \left({\frac {1}{n}}\right)={\frac {\mathrm {arc} \,\sin \left({\frac {1}{n}}\right)}{\frac {1}{n}}}={\frac {\mathrm {arc} \,\sin x_{n}}{x_{n}}}$

Az előbb kirajzolódó határértéket L'Hospital-szabállyal határozhatjuk meg:

$\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\mathrm {arc} \,\sin x}{x}}\;\;{\underset {\frac {0}{0}}{\overset {\mathrm {L'H} }{=}}}\;\;\lim \limits _{x\to 0}{\cfrac {\cfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{1}}={\frac {\cfrac {1}{\sqrt {1-0^{2}}}}{1}}=1$

tehát az átviteli elvet alkalmazva az (x_n) sorozatra szintén azt kapjuk, hogy

$\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {arc} \,\sin x_{n}}{x_{n}}}=1$

Feladatok

1. $\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot \mathrm {arc\,tg} \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)=?$

(Útmutatás: számítsuk ki a lim_x->0 arc tg(x)/x határértéket és alkalmazzuk a megfelelő nullsorozatra )

Megoldás

$n\cdot \mathrm {arc\,tg} \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)={\frac {\mathrm {arc\,tg} \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)}{\frac {1}{n}}}={\cfrac {1}{\sqrt {n}}}\cdot {\frac {\mathrm {arc\,tg} \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)}{\frac {1}{\sqrt {n}}}}$

azaz a következő határérték kell:

$\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\mathrm {arc\,tg} (x)}{x}}\;\;{\underset {\frac {0}{0}}{\overset {\mathrm {L'H} }{=}}}\;\;\lim \limits _{x\to 0}{\cfrac {\cfrac {1}{1+x^{2}}}{1}}={\frac {\cfrac {1}{1+0^{2}}}{1}}=1$

Vagyis

${\cfrac {1}{\sqrt {n}}}\cdot {\frac {\mathrm {arc\,tg} \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)}{\frac {1}{\sqrt {n}}}}$

-ben a második tényező az 1-hez, az első a nullához, így az egész a 0-hoz tart.

2. $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{\mathrm {arc\,tg} (n^{2})}}=?$

(Útmutatás: idézzük fel az arc tg függvény elemi tulajdonságait, határértékeit az értelmezési tartománya határpontjaiban )

Megoldás

Tudjuk,

$\lim \limits _{x\to +\infty }\mathrm {arc\,tg} (x)={\frac {\pi }{2}}\,$

Ezért (bár az átviteli elvet csak végesben vett határértékre mondtuk ki), az

$x_{n}=n^{2}\to +\infty$

sorozatra is igaz, hogy a függvényértékeinek sorozata π/2 az arc tg-en, így ennek reciproka: $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{\mathrm {arc\,tg} (n^{2})}}={\frac {1}{\lim \limits _{x\to +\infty }\mathrm {arc\,tg} (x)}}={\frac {2}{\pi }}$