Numerikus sorozatok/Alapfogalmak

AlapfogalmakSzerkesztés

Egy számsorozat vagy numerikus sorozat olyan hozzárendelés, amely minden pozitív természetes számhoz egy valós (vagy komplex) számot rendel.

JelölésekSzerkesztés

  1. a sorozatokat, mint hozzárendeléseket az
     
    szimbólumokkal jelöljük
  2. ha ( ) egy sorozat, akkor az n természetes számhoz rendelt értéket a sorozat n-edik tagjának (vagy az n indexhez tartozó tagjának) nevezzük, jelölése:
     
  3. gyakori, szemléletes jelölés amikor az első néhány elemét zárójelek között felsoroljuk és ... -tal jelöljük azt a tényt, hogy a sorozat elemeinek képzését meghatátozó hozzárendelési utasítás ismert:
     
  4. szokás még néhány első tag után odaírni az   általános tagot is:
     
  5. a sorozatok függvények; az, hogy s valós számsorozat, a függvényeknél megszokott jelölésekkel még a következőkkel is rövidíthető:
      vagy
     
Ezek a jelölések is bevettek. A függvényviselkedés kihangsúlyozása érdekében olykor eltérünk a sorozat n-edik tagjának   jelölésétől az s(n) funkcionális (függvényszerű) jelölés javára.

PéldákSzerkesztés

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (a természetes számok sorozata),
  •   a "-1, 1" alternáló sorozat)
  •   (a természetes számok reciprokainak sorozata)
  •  
  •  

MegjegyzésekSzerkesztés

Egyáltalán nem szükséges, hogy a sorozatnak legyen egy „általános képlete”, vagy hogy minden számról el tudjuk egyértelműen dönteni, hogy tagja-e a sorozatnak vagy sem. Például gondolhatunk a prímszámok

 

sorozatára, miközben tudjuk, hogy az n-edik prím kiszámítására nincs általános képlet.

A sorozat indexelését néha a 0-val kezdik:

 

Annak kihangsúlyozására, hogy a sorozat mely tagtól kezdődik, néha alkalmazzák a

 

jelölést.

A számsorozatok analízisénél hasznos akkor is sorozatról beszélni, ha nem az összes természetes számok halmazán értelmezett egy sorozat, csak véges sok tag kivételével az összes természetese számok halmazán. Például az

 

sorozat a

 

számok halmazán értelmezett és ekkor néha az ilyen sorozatokat

 

-vel is jelöljük.

Sőt, általában ha H,KZ véges halmazok, akkor a

 

halmazon értelmezett függvényeket is sorozatoknak nevezzük.

FeladatokSzerkesztés

1. Igazoljuk, hogy minden n természetes számra

 

(Útmutatás: teljes indukcióval.)


2. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség n = 3-ra) Igazoljuk térgeometriai módon, hogy tetszőleges  , ,  és  , ,  valós számokra

 

(Útmutatás: Írjuk fel az ( , , ) és ( , , ) koordinátákkal megadott vektorok skaláris és vektoriális szorzatának négyzetét és adjuk össze. Ezután használjuk a trigonometrikus alakban felírt Pitagorasz-tételt.)


3. (Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség) Igazoljuk tetszőleges n természetes számra és  , , ,..., ,  , , ,...,  valós számokra, hogy

 

(Útmutatás: Tudjuk, hogy minden i-re és x valós számra

 

ezért ezeket összeadva, x-re olyan másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, mely minden x-re teljesül; ekkor a diszkriminánsra olyan feltétel igaz, melyből már következik a kívánt egyenlőtlenség.)


4. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség n=2-re) Igazoljuk, hogy minden x és y nemnegatív valós számokra

 

(Útmutatás: Induljunk ki az (x + y)2 nemnegativitásából.)


5. (Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség) Igazoljuk, hogy minden  , , ,..., , nemnegatív valós számra

 

(Útmutatás: .)