ha () egy sorozat, akkor az n természetes számhoz rendelt értéket a sorozat n-edik tagjának (vagy az nindexhez tartozó tagjának) nevezzük, jelölése:
gyakori, szemléletes jelölés amikor az első néhány elemét zárójelek között felsoroljuk és ... -tal jelöljük azt a tényt, hogy a sorozat elemeinek képzését meghatátozó hozzárendelési utasítás ismert:
szokás még néhány első tag után odaírni az általános tagot is:
a sorozatok függvények; az, hogy s valós számsorozat, a függvényeknél megszokott jelölésekkel még a következőkkel is rövidíthető:
vagy
Ezek a jelölések is bevettek. A függvényviselkedés kihangsúlyozása érdekében olykor eltérünk a sorozat n-edik tagjának jelölésétől az s(n) funkcionális (függvényszerű) jelölés javára.
Egyáltalán nem szükséges, hogy a sorozatnak legyen egy „általános képlete”, vagy hogy minden számról el tudjuk egyértelműen dönteni, hogy tagja-e a sorozatnak vagy sem. Például gondolhatunk a prímszámok
sorozatára, miközben tudjuk, hogy az n-edik prím kiszámítására nincs általános képlet.
A sorozat indexelését néha a 0-val kezdik:
Annak kihangsúlyozására, hogy a sorozat mely tagtól kezdődik, néha alkalmazzák a
jelölést.
A számsorozatok analízisénél hasznos akkor is sorozatról beszélni, ha nem az összes természetes számok halmazán értelmezett egy sorozat, csak véges sok tag kivételével az összes természetese számok halmazán. Például az
sorozat a
számok halmazán értelmezett és ekkor néha az ilyen sorozatokat
-vel is jelöljük.
Sőt, általában ha H,K ⊆ Z véges halmazok, akkor a
halmazon értelmezett függvényeket is sorozatoknak nevezzük.
Tekintsük az n = 1 esetet! Ekkor a 2 > 1 egyenlőtlenséggel állunk szembe, ami igaz.
Legyen n tetszőleges és tegyük fel, hogy
(indukciós feltevés)
Feldatunk, hogy belássuk a
(konklúzió)
egyenlőtlenséget, mint az előző konklúzióját.
az egyenlőtlenségláncolat első és utolsó kifejezését összevetve kapjuk a kívánt konklúziót. A jelölt helyen használtuk fel az indukciós feltevést.
2.(Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség n = 3-ra) Igazoljuk térgeometriai módon, hogy tetszőleges ,, és ,, valós számokra
(Útmutatás: Írjuk fel az (,,) és (,,) koordinátákkal megadott vektorok skaláris és vektoriális szorzatának négyzetét és adjuk össze. Ezután használjuk a trigonometrikus alakban felírt Pitagorasz-tételt.)
Megoldás
...
3.(Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség) Igazoljuk tetszőleges n természetes számra és ,,,...,, ,,,..., valós számokra, hogy
(Útmutatás: Tudjuk, hogy minden i-re és x valós számra
ezért ezeket összeadva, x-re olyan másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, mely minden x-re teljesül; ekkor a diszkriminánsra olyan feltétel igaz, melyből már következik a kívánt egyenlőtlenség.)
Megoldás
4.(Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség n=2-re) Igazoljuk, hogy minden x és y nemnegatív valós számokra
(Útmutatás: Induljunk ki az (x + y)2 nemnegativitásából.)
Megoldás
...
5.(Számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség) Igazoljuk, hogy minden ,,,...,, nemnegatív valós számra