Numerikus sorozatok/Sűrűsödési pont és kiválasztási tételek
Sűrűsödési pont
szerkesztésDefiníciók
szerkesztés1. Az u valós szám nyílt gömbi környezetén olyan (u - ε,u + ε) nyílt intervallumot értünk, ahol ε pozitív szám. |
2. Azt mondjuk, hogy az Ω ⊆ R halmaz nyílt, ha minden pontjával együtt a pontnak egy nyílt gömbi környezete is benne van Ω-ban. |
- Megjegyzés. A nyílt intervallumok tehát nyíltak, de nyílt az összes valós számok halmaza is. Nem nyílt halmaz a racionális számok halmaza, hiszen bármely két racionális szám között van irracionális szám is, így nincs Q-ban egy csupa racionálisokból álló valós nyílt intervallum.
3. Azt mondjuk, hogy egy (an) sorozatnak sűrűsödési pontja vagy helye az u szám, ha az u minden nyílt környezetébe a sorozatnak végtelen sok tagja esik.
|
Példák
szerkesztés1. Igazoljuk, hogy az
sorozatnak pontosan két sűrűsödési helye van, a 0 és a 2.
(Útmutatás: Sejtsük meg (például grafikus úton) a sűrűsödési helyeket és igazoljuk azok tényleges sűrűsödési hely voltát definíció szerint.)
Az (an) sorozat általános tagja a következőkkel egyenlő:
Azaz a párosokra 2+2/n, a páratlanokra 0. Belátjuk, hogy a 2 szám sűrűsödési pontja. Legyen ε > 0.
- ,
tehát az ε / 2 számhoz létezik N, hogy
- ,
de egy N-nél nagyobb M páros számra méginkább teljesül ez, így : . Világos, hogy
és ez az egyenlőtlenség minden az M-nél nagyobb páros számra is igaz, azaz (2 - ε, 2 + ε)-ban végtelen sok sorozatbeli elem van. Minden páratlan indexű tag a 0 értéket veszi fel: , azaz 0 sűrűsödési hely.
Belátjuk, hogy ha u nem 0 és nem 2, akkor u nem sűrűsödési pont. Ha u < 0, akkor az u szám |u| / 2 sugarú környezete diszjunkt a sorozattól. Ha 0 < u < 2, akkor van olyan ε > 0, hogy ennél az értéknél u távolabb van mind a 0-tól mind 2-től. Az ilyen sugarú környezete u-nak szintén diszjunkt a sorozattól. Végül, ha u > 2, akkor az u-nak |u - 2| / 2 sugarú környezetében csak véges tagja van (2 + 2/n)-nek, tekintve, hogy ez a sorozat monoton csökkenő.
Korlátos sorozatok sűrűsödési helyei, Bolzano–Weierstrass-tétel
szerkesztésNem korlátos sorozatnak (definíció szerint) van sűrűsödési helye, hiszen a +∞ és -∞ szimbólumokat általános értelemben vett sűrűsödési helynek gondoljuk. Van-e azonban a korlátos sorozatoknak sűrűsödési helye? A szemlélet azt mondatja velünk, hogy igen sőt, azt be is tudjuk majd bizonyítani.
Megjegyzés – Gondolatkísérlet – Képzeljük el a fenti szituációt és próbáljuk elkerülni, hogy a korlátos sorozat esetén sűrűsödési pontot találjunk. Vegyünk egy zárt intervallumot és – kikerülendő, hogy sűrűsödési helyhez jussunk – pötyögtessük le a végtelen sok elemet egymástól lehetőleg egyenletes távolságban (persze ezek a távolságok mind kisebbek és kisebbek lesznek). Ekkor a sorozat az intervallumnak egy olyan megszámlálhatóan végtelen részhalmazát fogja alkotni, ami a racionális számokhoz lesz hasonló: minden tetszőlegesen kis intervallumban találunk sorozatbeli elemet. Ez viszont azt jelenti, hogy minden szám sűrűsödési pontja lesz a sorozatnak – éppen ellenkezőképpen, mint ahogy azt szerettük volna.
Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel (első alak)
szerkesztésTétel – Bolzano–Weierstrass-tétel sűrűsödési ponttal megfogalmazva – Minden korlátos sorozatnak van sűrűsödési pontja. |
Bizonyítás. Legyen (xn) valós számsorozat, melyről tegyük fel, hogy korlátos.
(1) Az intervallumfelezéses eljárást alkalmazzuk, éspedig a következő módon definiált intervallumrendszerre:
- legyen b1 az egyik felső korlátja, és a1 az egyik alsó korlátja;
- Osszuk a zárt és korlátos [a1;b1] intervallumot két egyenlő részre. Biztos, hogy az egyikben az (xn) sorozatnak végtelen sok tagja van, ha ugyanis mindkettőben csak véges sok tag lenne, akkor a sorozat is véges lenne.
- Válasszuk most már az [a2;b2]-nek a kettő közül azt – vagy olyat –, amelyben a sorozatnak végtelen sok tagja van.
- Folytassuk ezt az eljárást [a2;b2]-re, majd az ebből adódó [a3;b3]-ra, ... [an;bn]-re, ...
Ekkor a konstrukció egy ( [an;bn] ) egymásba skatulyázott intervallumrendszert ad, melynek – minhogy az intervallumok hossza feleződik – egyetlen közös pontja van.
(2) Legyen u az [an;bn]-ek közös pontja. Állítjuk, hogy u sűrűsödési pontja (xn)-nek, azaz u tetszőleges ε > 0 sugarú nyílt környezetében az (xn)-nek végtelen sok tagja van. Ehhez először belátjuk, hogy van olyan N természetes szám, hogy .
(a) u felső határa (an)-nek ugyanis egyrészt felső korlátja, hiszen minden intervallumnak része, így az intervallumok alsó végpontjánál nem kisebb. Másrészt tetszőleges ε > 0-ra u - ε nem felső korlátja (an)-nek, ugyanis ha az lenne, akkor az [u - ε, u] intervallum minden an-nél nem kisebb lenne, így sérülne az a tény, hogy csak egy közös pont van. Ugyanilyen módon következik, hogy u alsó határa (bn)-nek.
(b) Így tehát tetszőleges ε > 0-ra u - ε nem felső korlátja (an)-nek és u + ε nem alsó korlátja (bn)-nek. Van tehát olyan N1 és N2, hogy u - ε < a és b < u + ε. Ha N az N1 és N2 közül a nem kisebb, akkor .
Végül tudjuk, minden [an;bn] intervallumban, így az [aN;bN]-ben is az (xn) sorozatból végtelen sok tag esik, amiből következik, hogy az [aN;bN]-t lefedő (u - ε,u + ε) intervallumban is végtelen sok tag szerepel (xn)-ból. Amely pont az, amit bizonyítani akartunk.
Legkisebb és legnagyobb sűrűsödési hely
szerkesztésMegjegyezzük, hogy módosítható úgy a fenti bizonyítás, hogy a konstrukció az u számra a (xn) legkisebb értékű vagy a legnagyobb értékű sűrűsödési helyét adja. Ha ugyanis az intervallumfelezésnél mindig az alsóbbik olyan intervallumot választjuk, melyben végtelen sok sorozatbeli elem van, akkor a közös pont a legkisebb értékű sűrűsödési hely lesz. Ha pedig minduntalan a felsőbbik végtelen számú sorozatbeli elemet tartalmazó intervallumot választjuk, akkor a legnagyobb értékű sűrűsödési helyhez jutunk.
Az (xn) sorozat sűrűsödési helyei közül a legkisebbet (ha van)
jelöli és az (xn) limesz inferiorjának, vagy alsó határértékének nevezzük. Ha nincs legkisebb, akkor ezen a -∞ szimbólumot értjük. |
Az (xn) sorozat sűrűsödési helyei közül a legnagyobbat (ha van)
jelöli és az (xn) limesz szuperiorjának, vagy felső határértékének nevezzük. Ha nincs legnagyobb, akkor ezen a +∞ szimbólumot értjük. |
Borel–Lebesgue-féle befedési tétel
szerkesztésA következő tétel látszólag kevés hasonlóságot mutat az előzővel, de mégis nagyon szoros kapcsolatban vannak egymással. Mindkét tétel az analízis fundamentális jelentősségű tétele. Ne ijedjünk meg attól, hogy a tétel szövege is furcsán idegen módon hangzik a sorozatok témakörében és a bizonyítás is inkább geometriai vagy topológiai jellegű.
Tétel – Borel–Lebesgue befedési tétel – Ha a korlátos és zárt [ a, b ] intervallumot lefedi egy nyílt halmazokból álló halmazrendszer, akkor ennek a halmazrendszernek már véges sok tagja is lefedi. |
Magyarázat. Egy [a,b] zárt és korlátos intervallum esetén, lefedésre példa az, ha az intervallum minden egyes x pontját rendre befoglaljuk egy nyílt intervallumba, például adott ε pozitív számra az (x - ε, x + ε) intervallumba. Ezeknek a nyílt intervallumoknak ( )x ∈ [a,b] rendszere egy úgy nevezett nyílt befedése [a,b]-nek, mely kontinuum számosságú sok tagból áll (intervallumnyi halmazt tartalmaz), ám ennek ellenére a Borel–Lebesgue-tétel szerint ezek közül már nem csak végtelen, de ráadásul véges sok halmaz is befedi [a,b]-t. Ez egy elég meglepő és páratlanul erős eredmény, bár az is igaz, hogy csak korlátos és zárt intervallumokra teljesül.
Megjegyzés. Furcsa, hogy míg a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel könnyen átlátható és intuitív, addig a Borel–Lebesgue-tétel kevésbé az, vagy egyáltalán nem követhető a szemlélet számára. Ennek az egyik lehetséges indoka az, hogy a Borel–Lebesgue-tétel bizonyításában egy nagyon nem természetes, mindamellett alapvető matematikai axiómát, a kiválasztási axiómát kell használnunk (ezzel már találkozhattunk a rekurzív megadású sorozatok témakörében). A Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel bizonyításához erre nincs szükségünk, még később, a részsorozatokkal megfogalmazott alakjának bizonyításánál sem, pedig ott valóban egy speciális tulajdonságú függvény kiválaszthatóságát fogjuk belátni.
Tétel – A két kiválasztási tétel ekvivalenciája – A Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel és a Borel–Lebesgue befedési tétel ekvivalensek egymással. |
- Következésképpen:
- Korollárium – A Borel–Lebesgue befedési tétel igaz.
Bizonyítás.
(1) Tegyük fel a Borel–Lebesgue befedési tétel állítását, és igazoljuk belőle a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételt. Ha az előző bizonyításban indirekten okoskodtunk volna, akkor ezt kaptuk volna. Tegyük fel, hogy az első intervallumnak (mely lefedi a sorozatot), tehát [a1,b1]-nek egyetlen eleme sem sűrűsödési pontja (xn)-nek. Ekkor minden [a1,b1]-beli pont körül van olyan nyílt intervallum, melyben az (xn)-ből csak véges sok tag tartózkodik. Ezek a nyílt halmazok befedik az [a1,b1]-et, így – hivatkozva a befedési tételre – ezek közül már véges sok is lefedi [a1,b1]-et. Ekkor viszont az [a1,b1]-ben összesen is csak véges tag van (xn)-ből, ami ellentmond annak, hogy az (xn) végtelen sorozat és a tagjai teljes egészében az [a1,b1]-ben vannak.
- Megjegyzés. Világos, hogy ez a gondolatmenet alkalmas a B–W-tétel egyszerű bizonyítására, természetesen feltételezve, hogy a B–L-tétel igaz.
(2) Tegyük fel a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel állítását, és igazoljuk belőle a befedési tételt. Vegyünk egy korlátos és zárt [a,b] intervallumot befedő, nyílt halmazokból álló halmazrendszert.
(a) Először ezek közül választunk ki megszámlálható sokat, melyek még mindig lefedik [a,b]-t, abból a célból, hogy egyáltalán sorozatokról tudjunk beszélni. Tekintsük az összes q racionális számra és p pozitív racionális számra a q középpontú és p sugarú nyílt környezetet. Ezek megszámlálhatóan sokan vannak. Adott x ∈ [a,b]-re válasszunk ki egy olyan Ωx nyílt halmazt az [a,b]-t lefedő rendszer elemei közül, mely x-et fedi le. x belső pontja Ωx-nek, így van olyan r > 0, hogy (x - r,x + r) ⊆Ωx. Minden nemüres nyílt számközben van racionális szám, így az (x,x + r/3) számközben is, legyen egy ilyen a q. Válasszuk p-nek az (r/3,r/2) intervallumban lévő valamely racionális számot. Ekkor fennáll:
vagyis
Minden x-hez rendeljünk hozzá egy ilyen (q - p,q + p) intervallumot, ezek megszámlálható sokan vannak és lefedik [a,b]-t. Minden (q - p,q + p)-t tehát tartalmaz egy Ω az [a,b]-t lefedő rendszerből, vegyünk egy ilyet és jelöljük Ω(p,q)-val. Tehát az Ω(p,q)-k lefedik [a,b]-t és megszámlálható sokan vannak.
(b) Az [a,b]-t lefedő rendszerből tehát kiválasztható megszámlálható részlefedés, legyen ez . Venni fogunk egy (xn) sorozatot rekurzív módon, mely pontosabban fogalmazva egy olyan sorozat létezését állítjuk, melyet a kiválasztási axiómával kombinált rekurzió elve biztosít. Ha Ω1 lefedi [a,b]-t, akkor megtaláltuk a véges lefedést. Ha Ω1 nem fedi le [a,b]-t, legyen
- .
Ha (Ω1,Ω2) már lefedi [a,b]-t, akkor szintén megtaláltuk a véges fedést. Ha nem, legyen
- .
Azt állítjuk, hogy így folytatva biztos lesz olyan n, hogy már lefedi [a,b]-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (xn) egy végtelen, [a,b]-ben haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ [a,b] sűrűsödési pontja. Mivel a konstrukció miatt lefedi [a,b]-t ezért u-t is tartalmazza egy Ωm nyílt halmaz. u-nak van Ωm-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (xn)-beli tag. Ez azonban ellentmond annak, hogy minden n-re -ben csak véges sok tag lehet (xn) konstrukciója szerint, holott már Ωm-ben is végtelen sok tag van.
- Megjegyzés. Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér, bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon.