„Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Az üres osztály” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
48. sor:
<center>∀x:[ ( x∉<big>''E''</big> ∧ ∀y:(y∉x) ) → x=∅ ].</center>
Bizonyítás: Legyen Ü egy ilyen osztály. Megmutatjuk, hogy Ü=∅. Valóban, Ü≠∅ azt jelentené, nem igaz, hogy e két osztálynak nem ugyanazok az elemei, ez pedig csakis azt jelentheti, hogy van olyan elem, dolog, ami vagy eleme az egyiknek és nem eleme a másiknak, vagy fordítva. Mert mi mást érthetünk azon, hogy nem ugyanazok az elemeik? De természetesen nem lehet ilyen elem, hiszen egyik osztálynak sincs eleme. Ü≠∅ tehát megcáfolva. Tehát Ü=∅, Q.E.D.
=== Alternatív definíció ===
Tétel: Ha létezik az {x∈<big>''E''</big> | x≢x} = {x∈<big>''E''</big>| ¬(x≡x)} osztály, az az üres osztály.
Megjegyzés: gyenge axiómaként nem tesszük fel, de a [[részhalmaz-axióma]] erős formájából levezethetően, létezik.
Bizonyítás: Az [[Halmazelmélet/Alapfogalmak#Az egyedazonosság|egyedazonosság]] refelxivitásából következően, ez az osztály üres, nincs eleme. [[Az üres osztály egyértelműségéből]] következően pedig, ekkor megegyezik az üres osztállyal. Q.E.D.
== Az elemtelen dolgok osztálya ==
| |||