Szerkesztő:Gubbubu/Halmazelmélet/Az üres osztály

• Témák jegyzéke
• Előző fejezet (Alapfogalmak)
• Következő fejezet (Russell tételei)

Az üres osztály nemcsak önmagában fontos, de bevezetése biztosítja, hogy létezzen legalább egy osztály, ami egyúttal halmaz is. Nélküle az osztályelméleten belül nehezen lenne a halmazelmélet megkonstruálható (illetve meg lehetne, csak nem tudnánk, van-e értelme).

Az üres osztály

Az üres osztály axiómái

Az üres osztály definíciója: ha a

∅ := {x∈U | x≠x}

intenzionális definíció létező osztályt ad meg, azt üres osztálynak nevezzük (itt = az individuum-egyenlőség).

(Gy4) Az üres osztály egzisztencia-axiómája: Létezik az önmaguktól különböző individuumok osztálya, azaz létezik az üres osztály; ami nevéből következően, nem egyed.

∃x: (x∉E ∧ x=∅).

(A8) Az üreshalmaz-axióma: Az üres osztály individuum, azaz osztályba foglalható .

∅∈U

Természetesen ezt a két axiómát össze lehet vonni:

∃x∈U: (x∉E ∧ x=∅);

(sőt még a definícióval is egyesíteni lehet:

∃x∈U: [x∉E ∧ ∀z∈x: (z≠z)]     );

az elkülönítéssel pusztán arra szerettük volna felhívni a figyelmet, hogy az individuumság feltételezése gyenge axióma, azaz később be is bizonyítjuk.

Az „üres osztály” - üres

Tétel: Az üres osztálynak nincs eleme.

∀x:(x∉∅)

Bizonyítás: legyen x∈∅, ez ∅ definícióját alkalmazva azt jelenti: x∈U s egyúttal x≠x. Ez lehetetlen: az individuum-egyenlőségről írt fejezetben beláttuk, hogy = reflexív, azaz minden individuumelemre x=x. Az ellentmondást az a feltevés okozta, hogy x∈∅. Tehát x∉∅, akármi is az x (egyed, vagy osztály). Q.E.D.

Az üres halmaz

Tétel: Az üres osztály halmaz.

x∈H

Bizonyítás: az üres osztály definíciója és axiómája kizárja, hogy egyed legyen, hiszen ez a nevében is benne van. Tehát osztály. Minthogy individuum, így osztályba foglalható osztály, azaz halmaz. Q.E.D.

Definíció: Az üres osztályt üres halmaznak is nevezzük.

Tehát létezik halmaz, azaz léteznek nemvalódi osztályok. Persze, ez azt is jelenti, hogy léteznek osztályok; egy legalábbis. Ugyanakkor „végre” biztosan létezik egy olyan dolog, ami eleme is lehet további halmazoknak, osztályoknak (hiszen az egyedek osztálya lehet akár üres is).

Az üres osztály egyértelműsége

Tétel: Egyetlen olyan osztály van, aminek nincs eleme, és ez az üres osztály. Azaz: ha létezik olyan osztály, amelynek egy eleme sincs, akkor az az üres osztály(-lyal egyenlő).

∀x:[ ( x∉E ∧ ∀y:(y∉x) ) → x=∅ ].

Bizonyítás: Legyen Ü egy ilyen osztály. Megmutatjuk, hogy Ü=∅. Valóban, Ü≠∅ azt jelentené, nem igaz, hogy e két osztálynak nem ugyanazok az elemei, ez pedig csakis azt jelentheti, hogy van olyan elem, dolog, ami vagy eleme az egyiknek és nem eleme a másiknak, vagy fordítva. Mert mi mást érthetünk azon, hogy nem ugyanazok az elemeik? De természetesen nem lehet ilyen elem, hiszen egyik osztálynak sincs eleme. Ü≠∅ tehát megcáfolva. Tehát Ü=∅, Q.E.D.

Alternatív definíció

Tétel: Ha létezik az {x∈E | x≢x}   =   {x∈E| ¬(x≡x)} osztály, az az üres osztály.

Megjegyzés: gyenge axiómaként nem tesszük fel, de az erős részosztály-axiómából levezethetően, létezik.

Bizonyítás: Az egyedazonosság refelxivitásából következően, ez az osztály üres, nincs eleme. Az üres osztály egyértelműségéből következően pedig, ekkor megegyezik az üres osztállyal. Q.E.D.

Az elemtelen dolgok osztálya

Definíció: Ha létezik az

M := {x∈U | ¬∃y:(y∈x)}

osztály, vagyis az elem nélküli individuumok osztályt alkotnak, akkor ezt minimálosztálynak nevezzük. A fenti tulajdonságú elemeket - azaz az elemtelen dolgokat (akár létezik az osztályuk, akár nem) minimálelemeknek vagy minimálindividuumoknak nevezzük.

(Gy5) A minimálosztály első axiómája: Létezik az M osztály, a minimálelemeké.

Tétel: x∈E ⇒ x∈M és ∅∈E ⇒ x∈M. Bizonyítás: Az egyedekre és az üres halmazra vonatkozó definíciók és axiómák következményei, az egyedek individuumok, de nincsenek elemeik, tehát minimálelemek, az üres halmaz meg a rá vonatkozó halmazsági axiómából következően individuum, és a rá vonatkozó tétel miatt üres, azaz minimálelem.

Tétel: M minden eleme vagy egyed, vagy az üres halmaz.

Bizonyítás: Ha x M-beli individuum, és egyed, akkor kész vagyunk; ha meg nem egyed, akkor osztály, és mivel nincs eleme, az üres osztály egyértelműsége miatt, épp az üres halmaz. Mivel más lehetőség nincs, Q.E.D.

Az unió és pár fogalmára hivatkozással ezt úgy lehet formálisan mondani, hogy

M = E∪{∅}.

Megjegyzések

Megjegyzések a formális definícióról

A formális definíció okoz pár problémát, különösen egy egyedeket tartalmazó halmazelméletben; ezekről azonban már előzőleg, más problémák kapcsán beszámoltunk.

Az üres osztály egyértelműségéről

Megjegyzés: A hagyományos halmazelméletben az egyenlőségi axiómából („egy osztályt meghatároznak az elemei”, avagy „két osztály akkor és csak akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemeik”) szokás levezetni, hogy az üres halmaz létezése egyértelmű, azaz egyetlen egy, elemekkel nem rendelkező halmaz létezik. Ennek használata némileg kifogásolható, hiszen nem létező elemek nem határozhatnak meg osztályt. Két osztály egyenlő, ha ugyanazok az elemeik, valóban; de az üres osztályoknak nincsenek elemeik, tehát ugyanazok sem lehetnek. A fenti informális bizonyítás így bizonyos fokig az egyenlőségi axióma félreértésén alapszik. Az egyenlőségi axióma a halmazok extenziójáról szól; az üres halmaz pedig igazából nem rendelkezik ilyennel, épp ezért üres. Nem létező extenziók hogy lehetnek azonosak? Ezen kifogások ellen, úgy látszik, a fenti bizonyítás, amely az itt bírálthoz hasonló gondolatra épül, csak talán precízebben mondja el, hozható fel érvként.

Jegyzetek

Lap teteje